1、中国数学的第一个巅峰时期。

从《孙子算经》到《九章算术》，是中国数学的第一个巅峰时期。《孙子算经》的作者孙武，出生于春秋时期齐国的乐安（今山东广饶），自幼饱受了稷下文化的熏陶。公元前515年避仇奔吴后，又接纳了吴文化的精髓。吴文化是泰伯让位来吴后，将他所带来的中原文化，与江南刻痕文化残留的融合。其实不管是孙武的《孙子算经》还是他的《孙子兵法》，都是对于老子《道德经》的传承，因此《孙子算经》属于道家。

“算筹”是我国最古老的运算工具，它应该源自于蚩尤部落的刻痕文化，一直使用到明代算盘的出现，运用“算筹”作计算的方法称为“筹算”。“筹算”里的加减法比较简单，乘除法极其复杂，我们今天所看到的“筹算”，应该是孙武对于原始“筹算”的改进。孙武在他的《孙子算经》里，将他的“筹算”毫无保留的予以公开，大力促进了我国古代数学的飞快发展。我国春秋战国时期所出现的百家争鸣，数学显然是其一个重要内容。

其时对于数学最大的争辩应该是，墨家提出了一个“非半”的命题，去质难《庄子》里的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。墨家认为这个观点是错的，因为把一线段按照一半一半地无限制地分割下去，就必将出现一个不能再分的“非半”——点。显然，真正错误的是墨家，因为线和点是两个不同的概念，属于两个不同的层次。其实一条线不管如何之短，它都是由无限之多的点所组成，因此一条线不管如何的分割，都是不会出现一个点的。

我国三国时期的刘徽，在他的《九章算术注·原序》中指出：“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍，大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，名称删补，故校其目则与古或异，而所论者多近语也”。由此可见，《九章算术》应该成书于秦代之前，是举世最早的一部，完全为数学内容的集成，它是中国数学到达第一个巅峰的见证，也是春秋战国时期百家争鸣的产物，代表了东方数学的最高成就。

显而易见，《九章算术》里的方田、少广、商功、勾股都是属于几何方面的内容，而《墨经》里的主要数学内容正是几何。而其它的粟米、衰分、均输、方程、赢不足，则分别来自于《考工记》、《管子》……，乃至《易经》等方面的内容，因此，《九章算术》汇聚了儒道两家的数学精华。西方数学对于负数和无理数的认识极其艰难，然而《九章算术》对于负数和无理数的认识却是那么的顺理成章。

2、中国数学的第二个巅峰时期。

我国的古代数学，由于秦始皇的焚书坑儒，使得其中的儒家的数学部分，遭到了很大的摧残。《九章算术》里的儒家的数学部分，经过了张苍、桑弘羊、许商、耿寿昌、刘歆等人的整理、增补，足足花了四百多年的时间，才是形成我们今天所见到的定本。直到三国时期刘徽的《九章算术注》，才是再一次激发了我国古代数学的活力，促使中国数学迅速进入了第二个巅峰时期，那么祖冲之父子的《缀术》，则是这个鼎盛时期的标志。

根据宋徽宗大观三年，刘徽曾被追封为“淄乡侯”，因此，刘徽可能是山东淄川或临淄一带人。这样的推断应该是可信的，因为山东的齐国就是中国数学的发祥地，《孙子算经》作者孙武也是齐国人。至于刘徽到底具有何种身份地位，让他有充分的时间去研究数学，并且使他有充足的财力去出版发行他的《九章算术注》，大家一直没有找到相关的史料。笔者认为，我们只能从我国晋代前后的社会状况，去寻找问题的答案。

那时的中国社会盛行士族制度，士族是以家族为基础，以门第为标准，在社会上形成的地主阶级中的特权阶层，享有很高的政治、经济特权的豪门大族。那时流行的是玄学，这是以老庄思想为骨架，糅合儒家经义以代替繁琐的两汉经学的一种哲学思潮。其讨论的中心问题是本末有无，即宇宙最终存在的根据问题，亦即本体论的问题。那时的仕人们常常喜欢聚集在一起“谈空论玄”，称之为清谈。所以刘徽应该是那时的一个庄园主，《九章算术注》则是他们的清谈产物。

刘徽在他的《九章算术注·原序》里说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采之所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干同者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”刘徽的这种数学思想，就是典型的我国传统的运筹归纳思维模式。

数史学家李迪认为，刘徽不仅是中国传统数学知识及成果的继承者和创造者，同时也是中国传统数学理论的奠基者。他既注意搜集别人的研究成果，又十分善于独立思考，获得了许多发现与创造，他的《九章算术注》标志着中国传统数学，完成了由感性向理性、由或然性向必然性的升华。在数学上的建树颇丰，几乎涉及到中国古代数学的各个方面。

祖冲之的情况与刘徽正好相反，他的生平史料十分丰富，然而他的《缀术》却早就失传了。《缀术》失传的原因，显然是由于其内容实在太深奥了。由于《缀术》的失传，大家一直不知道祖冲之的“3.1415926＜π＜3.1415927”是如何得到的。为此我专门写了一篇“祖冲之的圆周率是如何得到的？”文章予以探索。其实祖冲之的密率355/113，十九年七闰的历法，完整孙子定理的获得都是超时代性的数学。

3、中国数学的第三个巅峰时期。

根据《礼记》记载，我国周代运用礼、乐、射、御、书、数六艺，对于他们的贵族子弟予以教育，希图以此能够培养出德才兼备的接班人，显然，数学也是作为合格接班人的一项重要内容。到了隋唐时期，我国在生产、科技、文化各个方面，都获得了空前的大发展，因此，从隋朝开始，一方面设置了国家级最高学府——国子监，扩大了培养人才的范围，一方面又创建了科举制度，开辟了直接从民间吸收人才的新途径。

据称唐代官吏上朝要带算筹，在朝议事时常用算筹当场决事。唐初的李淳风按照唐高宗李世民的诏令，对我国古代的算经全部重作注释，使之作为国子监明算科的标准教课书。唐代还进一步明确规定，不管何人只要数学考试合格，即可入朝为官。这样的举措，当然激发了民间数学的蓬勃展开，民办的算学馆应该就是由此而兴起的。其实这些民办的算学馆的校长，都是各个数学领域里的领军人物，他们往往具有比国子监教授更高的水平。唐朝的如此决策，无疑是将数学的种子直接播种于民间，让数学的大树直接从民间获得取之不竭的营养。

到了宋元时期，我国在生产、科技、文化各个方面，又有了更大的发展。我国古代的四大发明中的三项——火药、指南针和活字印刷术均产生于这一时期。尤其是印刷术的普遍使用，为中国数学的发展、保存和传播注入了无限的活力，从而使得我国的传统数学，又到达了一个更加光辉灿烂的新高度。

宋元时期，可谓数学人才辈出，名家云集，其中的代表人物是“宋元四大家”：杨辉、秦九韶、李冶和朱世杰，此外还有贾宪、刘益、沈括、王恂和郭守敬等名家。同时涌现了大量的数学著作，据不完全统计，仅两宋约300年间，部分书目有95种，其中著名的数学著作就有54种之多。值得注意的是，在“宋元四大家”之中，只有秦九韶不是民办的算学馆的校长，但是他一直谋求能调任为国子监的数学教授。

中国数学的大树，到了宋元时期，可谓已是果实累累。杨辉的“纵横图”和“垛积术”、李冶的“半符号代数”和几何问题的代数解法、秦九韶的“大衍求一术”和一元高次方程的数值解法、朱世杰的多元高次方程组的解法和“招差术”等在当时都是独步天下的。其中的许多内容，至今仍然值得我们再作进一步的发掘。