曾经，质能方程只能在惯性系中写出，不能定量给出非惯性系中质量和能量的关系，一直 令爱因斯坦难以释怀。在加速系和引力场中质能方程能否成立，也成为人们好奇、疑虑却心有 余而力不足的悬案。本文将循着爱因斯坦 1907 年在《物体的惯性同它所含的能量有吗？》中所用的方法，只是将他用的时空收缩因子拓展为含引力势φ的或者说，只是将他所用的多普勒红移公式，换成势速协同红移公式，推导背景系加速运动或者 背景时空中包含引力场的质能方程。聊以告慰爱因斯坦和消除人们的疑虑。

设K' 系相对于静伽系K 沿X 轴正向（X' 与X 轴同向）加速运动，等效为K 观测K' 处在X轴负方向的引力场中；一个能发光的物体静止在K 中,它相对于K 的能量记为>E₁,相对于K' 的 能量记为E₁' .另设某一时刻t，该物体沿与X 轴夹θ角的方向发射能量为ΔE/2的平面光脉冲, 同时在相反的方向(π -θ)也发出等量的光；显然，发射光脉冲前后物体相对K系始终静止。 并设t时刻，K'相对于K的速度和加速度分别为u和a.发光后物体相对于K 和K'的能量分别 记为E₂和E₂'.

因为发射光脉冲时间极短,可认为在同一空间位置完成,所以两个参考系都认为发射光脉 冲前后总能量不变。即K系物体发光前后在K系中的能量关系为

（1）

因为光源静止在K系中，由K'系观测会有多普勒效应。在K'看来，发光物体在向X'轴负 方向做加速运动；t时刻，它的速度和加速度分别为-u和-a ，等效为K'观测该物体处在沿X 轴正方向的引力场中（等效引力势为-φ ), 所以，由K'系观测还有引力红移效应。设光源 K相对于K'运动方向与光源到K'系观察者的连线夹θ角；且将 K 中时钟快慢和量尺长短都调为与K' 中的相同。若K'观测K'中光速为c，波长为λ= cT ，频率为V ，周期，则K'观测K 中的光速^[1]就跟二系之间势速协同的时空伸缩系数有关，即

K'观测 K 中波长被压缩为

由频率、波长与光速的关系式，可得K, 系观察者观测K 系光源所发光的频率为

这就是从纯物理的角度推导的势速相同红移公式，与用四维波矢量公式推导的完全相同。因为 光源固定于 K 系，所以V, 为光源的发射频率或称固有频率，V 为K'系的接收频率，故得

（2）

于是，K, 系测量两个方向光波的频率分别为

   和    （3）

再由光子的能量E_光= hV，可得 K 系物体发光前后在K'系中的能量关系为

（4）

考虑到 得

（5）

(5)-(1)式,得

（6）

物体发出光脉冲前后,K 观测到它的能量减少了 ΔE ,物体在发光前后都无动能和势能；而 K'观测到它除了发射光脉冲减少的能量之外,物体的动能和引力势能在发光前后都有变化。所 以对K, 而言,(E' - E) 这个差与该物体的机械能所不同的只是二者相差一个常数C ,而常数C 就 是除机械能之外所有能量的总和，忽略高阶小量后就是物体的静能. 据此设

（7）

（8）

将(6)式代入(7)-(8)式，得

展开上式中的，在φ<< c²和u<<c 的情况下略去高阶小量，可得

（9）

很显然， (9)式左边的两项应该与右边的两项分别对应，即

（10）

（11）

(10)式表明，发光后物体的动能小于发光前物体的动能；相对于K'系，发光前后物体的速度都是-u，所以物体动能的减少确认与速度无关。再由动能的定义式可知动能的增量，动能的减少就只可能是物体的质量减少所造成的。即

（12）

按照同样的思路，引力势能的改变也应该与引力势（同一位置的等效引力势不变）无关,只与 物体质量的改变有关。在(11)式中，若 φ > 0 ，则发光后物体的引力势能小于发光前物体的引力势能，由引力势能定义式 E_p =mφ 可知，引力势能的减少是有质量减少造成的；，若φ <0 ， 则发光后物体的引力势能大于发光前物体的引力势能，由引力势能定义式 E_p =mφ 可知，引 力势能的增大也是有质量减少造成的，因为质量越小引力势能负得越少。总之，(11)式给出物 体的质量都是减少的，减少量为

（13）

起初我们只是假设：物体对外辐射了光能量ΔE ；最终结果却是：物体的质量减少了 .这么明显的因果逻辑，揭示出能量与质量之间有着奇妙的关联：

（14）

或者把(14)式写成：E₂  - E₁  = m₂c²  - m₁c²  ，对应地有 E₁  = m₁c² 和E₂  = m₂ c²  .按照最初的 假设：发射光波前，K 系测量物体的能量为E₁  ，对应着物体的质量m₁  ；发射光波后，K 系测 量物体的能量为E₂  ，对应着物体的质量m₂ . 发射光波前后，物体的能量减少了 ΔE = E₁  - E₂ ，

 对应着物体的质量减少了Δm = m₁ — m₂ . 意味着：物体辐射出去的能量 ΔE是以物体的质量减 少 Δm作为代价的；反言之，物体的质量若莫名地减少了Δm ，则它一定向外辐射了能量 ΔE . 这已为核反应实验所证实：重原子核分裂和轻原子核聚合都会使原子核的总质量减少（叫做质 量亏损），质量的亏损就是由对外辐射核能所造成的。正反实物粒子因碰撞而湮灭的实验，更 是将质量与能量的这种关系展现到极致。

(14)式给出了能量的改变量与物体质量的改变量之间的关系，而 E₁=m₁c² 和E₂ = m₂c² 给出的是能量与质量之间的对应关系，去掉角标就是

（15）

这就是我们推导的质能方程，形式上与爱因斯坦的质能方程完全相同。但由于推导(15) 式的时空背景中含有加速度或引力场，所以(15)式具有更普遍的意义。主要表现在以下方面：

首先，(12)式中的m 是与物体动能有关的质量，按习惯叫做惯性质量m_I ；而(13)式中的 m 是与物体的引力有关的质量，习惯称为引力质量m_G . 在光脉冲发射能量ΔE后，它们减少了同样多的量值 . 因此，由（12）和（13）式，有Δm_I  = Δm_G  ，也就是

（16）

这正是大名鼎鼎的爱因斯坦等效原理。无需我们刻意地去做假设，它就这样悄然而至。虽 是瓜熟蒂落，却属额外惊喜。得感谢势速协同红移公式，更要感谢任意自耦系中的时空伸缩因子没有它们，等效原理就只能停留在假设层面。

既然谈到等效原理，不妨多说几句。为了应用势速协同频移效应，我们曾将K'系观测静止在K 系中的物体做加速运动，等效为K'系观测物体处在引力场中（不然就得不到(3)式）， 而不是像相对论那样等效为物体观测自己处在引力场中。这两种等效模式具有本质差别：前者 符合“不仅速度加速度是相对的，引力场也是相对的 ”客观要求；而后者则认为引力场是绝对 的，这就需要一个特殊参考系来甄别引力场，不但有违相对性原理，而且在平直时空和弯曲时 空之间划出了一道不可弥合的鸿沟。正是从这里出发，广义相对论便踏上了注定艰辛而坎坷的 旅程。

其次，由(1)式可知E₁ - E₂  = ΔE ，是物体在发光前后，相对于静伽系的能量减少量，对应着非引力场中静止质量（简称为无势静质）m₀ 的减少量。即

（17）

而由势速协同红移公式推得的(5)式，可知E₁' - E₂'=ΔE，是物体在发光前后，相对于动场 系的能量减少量，对应着引力场中运动质量（简称为有势动质）m 的减少量。即

（18）

由(17)和(18)式，得Δm=Δm₀，即 m =m₀ . 动场系中 ，所以有

（19）

表达的是有势动质 m 与无势静质m₀之间的关系，可以简称为质速势关系。

当 0 时，就退回到狭义相对论中的质速关系：

（20）

很显然，质能方程(15)式中的m ，是指(19)式中的 m . 

在静伽系中， 0、 u=0、若物体也静止即v=0 ，则物体的能量就是所谓的静能

（21）

物体静止在静止的引力场中（ u=0， v =0 ，  0），则物体的质量和能量分别为

和

物体在静伽系（ u=0，  0）中运动（v  0）的质量和能量(爱因斯坦质能方程)分别为

和

当物体在静场系（ u=0，  0）中运动（v  0）时，其质量和能量表达式分别为

和

很明显，上述各能量式中所采用的光速，都是引力场中的固有光速c，与之对应的能量可 称做固有能量。相应地，与 K 观测K 系的单项比较光速c_对应的能量就称做比较能量：

若背景引力场相对K以速率u运动，则背景引力场中比较光速为；相 对运动引力场K'系以速率v运动的物体，对应的比较能量为

（22）

(22)式就是异系物理学中普遍适用的质能方程。最右边的第二项，是物体低速（u,v<<c） 运动时的动能，第三项是物体在||<< 0.5c²时的引力势能。当退回到静伽系（ u=0，=0）， (22)式就退变为爱因斯坦质能方程。

[1] 张建勋.时空度规分析[M].武汉：武汉出版社.2019.7:59