摘要 目的：探索素数的分布规律，探证哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，探索用整数模余坐标设置信息密码。方法：构建整数模余坐标体系，利用整数模余坐标探索素数分布规律，对孪生素数猜想、哥德巴赫猜想进行了证明探索，并尝试设置信息密码。结论：建构了整数模余坐标体系，利用整数模余坐标估计了以整数平方数为界的素数分布、以素数平方数为界的孪生素数分布，对哥德巴赫猜想、波利亚克素数猜想、勒让德猜想、k2+1型素数猜想进行了证明探索，给出了用整数模余坐标设置信息密码的简单示例。

关键词 整数模余坐标体系；素数分布规律；哥德巴赫猜想；孪生素数猜想；勒让德猜想；信息密码

MSC2020-11A41，中图分类号 O156.

1. 引言

公元 1742 年，德国哥德巴赫提出猜想：任意一个大于 5 的奇数都可以写成 3 个素数之和，欧拉将猜想转化为：任何一个大于 2 的偶数都可以分解为两个素数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想（简称哥猜）。1900 年第二届国际数学家大会在巴黎召开，德国数学家希尔伯特总结提出 23 个对后来影响重大的数学问题，其中第 8 个问题是数论问题，包括了黎曼问题、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想问题。1912 年第 5 届国际数学家大会在英国剑桥举行，数学家兰道指出未来要探索解决的数论四大问题：哥德巴赫猜想问题、孪生素数问题、勒让德猜想问题、k²+1型素数个数无限猜想问题。

1973 年 3 月陈景润先生在《中国科学》上发文证明：“任何一个大于 2 的偶数都可以表示成一个素数和另一个素因子不超过 2 个的数的和”⁽¹⁾。2013 年，巴黎高等学院哈洛德・贺欧夫各特将哥德巴赫猜想所说的大偶数降低到1029并认为小于1029的偶数的哥猜分解可以用计算机验证。法国数学家波林那克于 1849 年提出孪生素数猜想（简称孪猜）：存在无穷多个素数p使p+2

是素数。据说陈景润发文 50 多年以来，有许多 “民科” 认为证明了哥德巴赫猜想，但都有漏洞。人们至今还没有完备地证明这两个猜想。

人们早已发现，素数有无穷多个，素数的分布是不均匀的，数字越大素数越稀少，尽管素数的具体分布较为复杂。然而，素数的分布还是有规律的，本文建立整数模余坐标体系，通过模余坐标来反映素数的分布规律，以模余坐标为工具来估计哥猜对数、孪猜对数、勒让德猜想对数问题，基本证明了哥猜、孪猜两个数学问题，给出了勒让德猜想问题、k²+1型素数无限猜想问题的证明思路，给出了坐标体系在密码学方面的简单应用示例。

2. 整数的模余坐标及加减运算规律

2.1 素数的字母表达

“素数” 的英文单词 “prime number” 的首字母是 “p”，就将全部素数升序排列为无穷数列pn：

p₁,p₂,⋯,p_n,⋯，其中，p₁=2,p₂=3,⋯

2.2 孙子定理

2.3 整数的模余坐标表示

定义 1 已知 p₁, p₂, ⋯, p_n是增序排列的前n个素数，0≤b_i<p_i(i=1,2,⋯,n)，将同余方程组x≡b_i(modp_i)(i=1,2,⋯,n)的最小正整数解记为x∘，在模的集合{p₁,p₂,⋯,p_n}的基础上，x∘与有序余数组(b₁,b₂,⋯,b_n)之间形成一一对应关系，因此特定地记 x∘=(b₁,b₂,⋯,b_n)，称有序余数组(b₁,b₂,⋯,b_n)为整数x∘的n维模余坐标，并称bi为x∘的第i位坐标分量，称集合{p₁,p₂,⋯,p_n}为整数模余坐标的n维基底。已知同时含有因数 p₁, p₂, ⋯, p_n 的最小正整数等于 p₁p₂⋯p_n， p₁p₂⋯p_n 分别除以 p₁,p₂,⋯,p_n 所得余数都是 0， 则规定 p₁p₂⋯p_n=(0,0,⋯,0)。已知整数x除以素数p_i(i=1,2,⋯,n)所得余数有且只有 0、1、2、…、p_i−1 共 p_i 种不同情形，则前述b_i共有 0、1、2、…、p_i−1 等 p_i 种不同取值，根据分步记数原理，n维基底{p₁,p₂,⋯,p_n}上整数的模余坐标(b₁,b₂,⋯,b_n)有且只有 p₁p₂⋯p_n 个，对应地，x∘ 有且只有 p₁p₂⋯p_n 个不同值，这些值按增序排列就是：1,2,3, ⋯, p₁p₂⋯p_n，记集合 P={1,2,3,⋯,p₁p₂⋯p_n}，则 x∘∈P。例如，取定 1 维基底{2}，得1≤x∘≤2：1=(1)，2=(0).

取定 2 维基底{2,3}，得1≤x∘≤6：1=(1,1)，2=(0,2)，3=(1,0)，4=(0,1)，5=(1,2)，6=(0,0).

取定 3 维基底{2,3,5}，得1≤x∘≤30：1=(1,1,1)，2=(0,2,2)，3=(1,0,3)，4=(0,1,4)，5=(1,2,0)，…，28=(0,1,3)，29=(1,2,4)，30=(0,0,0).

取整数 a=2025，2×3×5×7=210<2025<2×3×5×7×11=2310，若用 4 维基底{2,3,5,7}，则2025→(1,0,0,2)=345=2025，四维基底已经不能表示整数a=2025了，需要启用 5 维基底{2,3,5,7,11}，2025 除以 2、3、5、7、11 所得余数依次是 1,0,0,2,1，得2025=(1,0,0,2,1).

其次，在 6 维基底中，2025=(1,0,0,2,1,10).

2.4 整数模余坐标的运算（加法、减法与拆分）

从而得到 整数模余坐标加法法则：

在 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n} 上，设 a=(r₁,r₂,⋯,r_n)，b=(t₁,t₂,⋯,t_n)，

0≤r_i+t_i<p_i 时记 h_i=r_i+t_i，

r_i+t_i=p_i 时记 h_i=0，

p_i<r_i+t_i<2p_i 时记 h_i=r_i+t_i−p_i。

记 (h₁,h₂,…, h_n)=c。

在坐标的分拆加减运算中，可能 “无意间” 借用了坐标 (0,0,⋯,0)，仅从坐标形式看，

(r₁, r₂,⋯, r_n)+(t₁,t₂,⋯,t_n)=(h₁,h₂)=(h₁+0,h₂+0,⋯,h_n+0)=(h₁,h₂,⋯,h₂)+(0,0,0)，

但从代数值来看就不一定能取等号了，坐标之间不一定能直接用等号连接，分别处理如下：

当 a+b≤p₁p₂⋯p_n 时，a+b∈P={1,2,3,⋯,p₁p₂⋯p_n}，c∈P，

a+b=(r₁, r₂,⋯, r_n)+(t₁,t₂,⋯,t_n)=(h₁,h₂,⋯,h_n)=c；

当 a+b>p₁p₂⋯p_n 时，a+b−p₁p₂⋯p_n∈P，

a+b=(r₁, r₂,⋯, r_n)+(t₁,t₂,⋯,t_n)→(h₁,h₂,⋯,h_n)+(0,0,0)，

则 a+b=c+p₁p₂⋯pn，对应坐标为：

a+b=(r₁, r₂,⋯, r_n)+(t₁,t₂,⋯,t_n)=(h₁,h₂,⋯,h_n)+(0,0,⋯,0)。

例如，在 4 维基底{2,3,5,7}上，

66+55=(0,0,1,3)+(1,1,0,6)=(1,1,1,2)=121，

100+200=(0,1,0,2)+(0,2,0,4)=(0,0,0,6)+(0,0,0,0)=90+210=300。

整数模余坐标的减法法则：

在n维基底{p₁,p₂,⋯,p_n}上，设 a=(r₁,r₂,⋯,r_n)，b=(t₁,t₂,⋯,t_n)，

当 r_i≥t_i (i=1,2,⋯,n) 时记 h_i=r_i−t_i，

r_i<t_i 时记 h_i=r_i−t_i+p_i。

(r₁,r₂,⋯,r_n)−(t₁,t₂,⋯,t_n)→(h₁,h₂,⋯,h_n)，记 (h₁,h₂,⋯,h_n)=c。

当 a>b 时，a−b,c∈P，a−b=(r₁,r₂,⋯,r_n)−(t₁,t₂,⋯,t_n)=(h₁,h₂,⋯,h_n)=c；

当 a≤b 时，a−b∈/P，c∈P，(r₁,r₂,⋯,r_n)−(t₁,t₂,⋯,t_n)→(h₁,h₂,⋯,h_n)，

a−b=(r₁,r₂,⋯,r_n)−(t₁,t₂,⋯,t_n)=(h₁,h₂,⋯,h_n)−(0,0,⋯,0)=c−p₁p₂⋯p_n。

例如在三维基底{2,3,5}上，

4=(0,1,4)，3=(1,0,3)，4−3=(0,1,4)−(1,0,3)=(1,1,1)=1；

3−4=(1,0,3)−(0,1,4)=(1,2,4)−(0,0,⋯,0)=29−30。

整数模余坐标的拆分运算法则：

譬如，在 3 维基底{2,3,5}上：2=(0,2,2)=(1,1,1)+(1,1,1)=1+1， 2=(1,1,3)+(1,1,4)−(0,0,0)=13+19−30，…6=(0,0,1)=(1,0,3)+(1,0,3)=3+3， 6=(1,1,3)+(1,2,3)−(0,0,0)=13+23−30，…

在 4 维基底{2,3,5,7}上：60=(0,0,0,4)=(1,1,1,1)+(1,2,4,3)=1+59， 60=(0,2,2,2)+(0,1,3,2)=2+58，60=(1,2,1,3)+(1,1,4,1)−(0,0,⋯,0)=101+169−210，…

3. 素数的坐标判定方法

尽管 a=(1,1,4,3)=199、b=(1,1,2,5)=187的坐标的各位数字都不是 0, 但 199>121=p₅² ，187>p₅², 还不能由 4 维坐标就判断 199 和 187 是否是素数。事实上，199 是素数，187=11×17 是合数.建立 5 维基底 {2,3,5,7,11}, 求得 a=199=(1,1,4,3,1)>13₂, 仍然不能判断 199 是否是素数；求得 b=187=(1,1,2,5,0), 187 的第 5 位坐标等于 0, 则 187 是合数.建立 6 维基底 {2,3,5,7,11,13}, 求得 a=199=(1,1,4,3,1,4)<289=p₇² , 由定理 1 知道 a=199 是素数.

结论：素数分布是 “非均匀” 性的，但分布是确定而非随机的，是有固定规律的，哪个位置是否是素数，哪个素数在哪个位置都是确定的。建立 n维基底 {p₁,p₂ ,⋯,p_n }, 区间 (0, p₁ p₂ ⋯p_n ) 内的整数位置就由它的模余坐标决定，相应地区间内的任意素数位置都由它的坐标所决定，维数n逐步增加，范围逐步扩大，由近及远，素数的位置也将逐步被确定.

4. 素数的分布

4.1 整数区间的概念

定义 1 已知 a,b∈Z,a<b，将整数数集 {x∣a≤x≤b,x∈Z} 简记为 [a,b]，读作整数闭区间 [a,b]；将整数数集 {x∣a<x<b,x∈Z} 简记为 (a,b)，读作整数开区间 (a,b)。这在形式上与实数连续区间一致但含义不同，不混淆时直接简读为区间 [a,b]、(a,b)。

引理：n≥4时必有 p_n+1²<p₁p₂ ⋯p_n.

证明：n=4时，验证即知 p₅² <p₁p₂p₃p₄ 成立.

4.3 整数区间 [1, p₁ p₂ ⋯p_n](n≥2)内坐标分量非零的整数占比

4.4 素数分布估计

4.5 素数的勒让德分布估计

4.5.1 勒让德猜想以及证明思路

勒让德猜想：任何两个相邻完全平方数之间都至少存在一个素数

4.5.2 素数的勒让德分布估计

从夹逼检索表可知，20²与21² 之间有 401、409、419、421、431、433、437 等 7 个素数；查询素数表得知，20² 与21² 之间有且仅有上述 7 个素数。估计结果与两种方法所得结果都相符。对于任意确定的正整数n，可以初略估计k² 与(k+1)² 之间的素数个数，具体还可以通过 “夹逼检索” 得出k² 与(k+1)²之间的全部具体素数，当k逐步增加时，就可以得出素数的连续平方数之间的分布情况。例 3. 估计155² 与156 ²之间的素数个数。

解析：p₃₆=151≤155<156≤157=p₃₇，建立 36 维基底{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151}，

f(155² ,156² )≈2kP(n)=310P(36)=34.06≈34,估计155 2 与156 2之间存在 34 或接近 34 个素数。

查询素数表得到，155² 与156²之间的素数是：24023, 24029, 24043, 24049, 24061, 24071, 24077, 24083, 24091, 24097, 24103, 24107, 24109, 24113, 24121, 24133, 24137, 24151, 24169, 24179, 24181, 24197, 24203, 24223, 24229, 24239, 24247, 24251, 24281, 24317, 24329, 24337，共计 33 个，这与估计情况相符。

4.7 存在无穷个k²+1型素数

4.7.1  k²+1型素数分布

综上，估计 10000 以内有 12 个 k 2 +1 型素数，实际有 16 个 k 2 +1 型素数，估计误差是 4 个。推测：数值越大范围越广估计的相对误差就越小。

4.7.2 存在无穷多个 k² +1 型素数

定理 4（k² +1 型素数猜想） 存在无穷多个 k² +1 型素数。

证明：(p₁ ,p₂²)内，5=2₂+1是 k₂ +1型素数；

(p₂,p₃2)内，5=2² +1、17=4²+1是 k²+1型素数；

(p₃,p₄²)内，17=4²+1、37=6² +1是 k²+1型素数；

(p₄,p₅² )内，17=4²+1、37=6²+1、101=10²+1是 k²+1型素数；

(p₅ ,p₆² )内，17=4²+1、37=6²+1、101=10²+1是 k²+1型素数。

当 n≥6时：

5. 孪生素数分布的估计

5.1 区间 [1, p₁p₂ ⋯p_n]上坐标分量 r_i≠0且 r_i≠p_i−2 (i=1,2,⋯,n)的整数的占比

5.2 区间上孪生素数对数的占比及其下届

建 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n}(n≥4)，设 x=(r₁,r₂,⋯,r_n) 与 x+2 是区间 (p_n,p_n+12) 上的一对孪生素数，则

p_n<x<x+2<p_n+1², ri≠0 (i=1,2,⋯,n), x+2=(1,r₂,⋯,r_n)+(0,2,2,⋯,2)=(t₁,t₂,⋯,t_n), t_i≠0.

• r_i+2<p_i 时，t_i=r_i+2；

• r_i+2>p_i 时，t_i=r_i+2−p_i；

• r_i=p_i−2 时，r_i+2=p_i, t_i=0, x+2 不是素数.

x 与 x+2 是孪生素数，当且仅当 r_i≠0, r_i≠p_i−2 对 i=1,2,⋯,n 均成立.

依据素数判定定理，若 p_n<x<x+2<p_n+12 且 x 的坐标分量 r_i≠0, r_i≠p_i−2 对 i=1,2,⋯,n 都成立，则 x、x+2 都是区间 (p_n,p_n+12) 上的素数，进而 x、x+2 就是区间 (p_n,p_n+12) 上的一对孪生素数.

依据素数判定定理，当 p_n<M≤p_n+12 时， 区间 [1, M−2) 上使坐标分量 r_i≠0, r_i≠p_i−2 (i=1,2,⋯,n) 的整数 x=(r₁,r₂,⋯,r_n) 就是素数，x+2 也是素数，x、x+2 就是孪生素数。在初略估算：

5.3 孪生素数猜想的证明

所以，n≥4 (p_n≥7) 时，l(p_n,p_n+12)≥4, 区间 (p_n,p_n+12) 内至少有 4 对孪生素数.

特别，具体地 n=4 时区间 (p_n,p_n+12) 即 (7,121) 内有 11−13, 17−19, …, 107−109 等 8 对孪生素数.

假设孪生素数对数是有限的，不妨设 p_n0,p_n0+2 是最大的一对孪生素数。设 p_N 是大于 p_n0+2 的任意一个素数，则区间 (p_N,p_N+1²) 内至少有 4 对孪生素数，与假设矛盾.

所以，存在无穷多对孪生素数，即存在无数个素数 p 使得 p+2 是素数。孪猜正确.

5.6 以素数平方数为间隔的孪生素数分布的估计

这种估计区间 (p_n+1²,p_n+2²) 上孪生素数的对数的方法，在本质上给出了孪生素数分布的一种估计，就将这种分布估计称作：以素数平方数为间隔的孪生素数分布估计.

例 5. 估计区间 [53²,59²] 上孪生素数的对数.

解析：

(1) l(53²,59²)≈⌊(59²−2)⋅L(16)⌋−⌊(53²−2)⋅L(15)⌋=85−71=14，估计区间 [53²,59²] 即 [2809,3481] 上孪生素数的对数等于或接近14. 事实上，区间 [2809,3481] 内实有 13 对孪生素数.

例 4. 估计 10000 以内孪生素数的对数.

解析：10000=100²，p₂₄²<89²<p₂₅²=97²<100²<101²=p₂₆².

已知 [1,7] 上有 3,5 和 5,7 两对孪生素数.

2+6+183+11=202，则估计 10000 以内有大约 202（下届）对孪生素数。查询孪生素数表可知，10000 以内有 205 对孪生素数，估计值与真实值基本相符（估计中遗漏了取整后小数部分对应的数据）.

5.5 存在无穷多对 “波利尼亚克素数”

5.4 波利尼亚克猜想的证明探索

对波利尼亚克猜想 “对任意正整数 k 都存在无穷多个素数 p 使 p+2k 是素数” 作证明探索如下：

对于任意一个正整数常数 k，设 p_n+1(n≥3) 是使 2k<pn+1 的任意素数，建立 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n}.

设 x 与 x+2k 是区间 (p_n,p_n+1²) 内的一对素数（波利尼亚克素数），则 p_n<x<x+2k<p_n+1².

设 x=(r₁,r₂,⋯,r_n)，x+2k=(t₁,t₂,⋯,t_n)，则 r_i≠0,t_i≠0 (i=1,2,⋯,n).

由前述模余坐标加法转化原理，可以将 r_i+2k(i=1,2,⋯,n) 化归为 t_i

{0, 1, 2, ⋯, p_i−1}之中等可能取值，避免取到 t_i=0 与 r_i=p_i−2k，r_i≠0 且 t_i≠0 的概率等于 p_i/p_i−2；

若 2k>p_i，设 2k≡u_i(mod p_i), 0≤u_i<p_i，即存在整数 v_i 使 2k=v_ip_i+u_i：

① u_i=0 即 pi∣2k，必有 p_i∣k (i≥2)，则 r_i+2k=v_ip_i+r_i→t_i=r_i，t_i≠⇔ri≠0，r_i 在 p_i 的余集 {0, 1, 2, ⋯, p_i−1} 之中等可能取值，r_i≠0 且 t_i≠0 的概率等于 p_ip_i−1；

② u_i≠0 时，则当且仅当 r_i=p_i−u_i 时 r_i+2k=(p_i−u_i)+(v_ip_i+u_i)=(v_i+1)p_i→t_i=0，所以 t_i≠0⇔r_i≠p_i−u_i. 所以，r_i 在 p_i 的余集 {0, 1, 2, ⋯, _pi−1} 之中等可能取值，r_i≠0 且 t_i≠0 的概率等于 p_i/p_i−2.

记区间 (p_n,p_n+1²) 内波利尼亚克素数对的占比的下届为 L_2k,I(n).

当 k 不被基底中除 p1 外的任何素数整除时，L_2k,I(n)=L(n).

当存在整除 p_i(i≠1) 整除 k 时，设基底 {p₁,p₂,⋯,p_n} 中有 p_e1, p_e2,⋯,p_em 等 m 个素数整除 k，其中 p_e1=p₁=2.

让 rk 在 {0,1,2, ⋯, pk−1}(k=1, 2, ⋯,n) 中与 tj 在 {0,1,2, ⋯, pj−1}(j=1, 2, ⋯,n,j≠k) 中各自独立取值后搭配，由乘法计数原理，共形成 p_1p2⋯p_n 个坐标，对应着区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 上全部 p₁p₂⋯p_n 个整数.

让 r_k 在 {0,1,2, ⋯, p_k−1} 中取值，rj 在 {0, 1,2, ⋯, p_j−1}(j≠i) 中取值，使 ri≠0 且 ri 对应于 ti≠0，rj≠0 且 rj 对应于 tj≠0，各自独立取值后搭配，由乘法计数原理，共形成 (p_e1−1)(p₂−2)(p₃−2)⋯(p_e2−1)⋯(p_n−2) 个坐标分量 ri≠0 (i=1,2,⋯,n) 且对应于 ti≠0 的情形，一一对应地对应着区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 内的 (p_e1−1)(p₂−2)(p₃−2)⋯(p_e2−1)⋯(p_n−2) 个整数（其中第 eh 个因式为 p_eh−1，其它均为 pi−2 的形式）.

则在区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 内，坐标分量 r_i≠0 且对应于 t_i≠0 的情形的整数的占比为

结合素数判定定理得到：

设 k 是任意一个正整数常数，且 2k<p_n+1(n≥4)，设基底 {p₁,p₂,⋯,p_n} 中有且仅有 p_e1, p_e2,⋯,p_em 等 m 个素数整除 k，记区间 [1,p_n+1²] 内不含基底素数的相距 2k 的素数（即波利尼亚克素数对）的对数为 L_2k(n)，则当 k 不被基底中除 p1 外的任何素数整除时，L_2k(n)=L(n). 否则 L_2k(n)=L(n)⋅

6. 偶数的哥猜分解探索

6.1 偶数的双素数拆分原理

对 ∀2a≥50(a∈Z)，存在素数 p_n,p_n+1 使 p_n²<2a<p_n+1² (n≥4)，建立 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n}，设 2a=(h₁,h₂,h₃,⋯,hn)，i=1,2,⋯,n，h1=0.

将 2a=(h₁,h₂,h₃,⋯,h_n) 分拆为 (r₁, r₂,r₃,⋯,r_n)+(t₁,t₂,t₃,⋯,t_n),r_i≠0,t_i≠0 (i=1,2,⋯,n)，(r₁,r₂,r₃,⋯,rn)=b, (t₁,t₂,t₃,⋯,t_n)=c，由前述整数模余坐标运算法则得到：b+c=2a 或 b+c=2a+p₁p₂⋯p_n.

设 b<2a，若 (t₁,t₂,t₃,⋯,t_n)=c≥2a，则 b+c>2a，必有 b+c=2a+p₁p₂⋯p_n，由 t_i≠0 知 c≠p₁p₂⋯p_n，则 c<p₁p₂⋯p_n，进而 b=2a−c+p₁p₂⋯p_n=2a+(p₁p₂⋯p_n−c)>2a，与 b<2a 矛盾。故 c<2a<p_n+1². 已知 ti≠0 (i=1,2,⋯,n)，由素数判定定理知 c 是素数.

对基底 {p₁,p₂,⋯,p_n} 中的奇素数 p_i=(r₁,r₂,⋯,r_n),i≠1，其中 r_i=0. 设 2a−p_i=(t₁,t₂,⋯,t_n)，若存在 r_j=h_j (j≠1)，则 t_j=0，2a−p_j 是合数；若奇素数 p_i 与 2a 不存在对应相等的坐标分量，则 t_j≠0 (j=1,2,⋯,n)，2a−p_i 是奇素数，进而 2a=p_i+(2a−p_i) 是一个哥猜分解.

于是得到：

定理 8（偶数的双素数拆分原理）：在 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n} 中，将 2a=(h₁,h₂,h₃,⋯,h_n) 的坐标分拆为 (r₁, r₂,r₃,⋯,r_n)+(t₁,t₂,t₃,⋯,t_n) 且 r_i≠0,t_i≠0 (i=1,2,⋯,n)，(r₁, r₂,r₃,⋯,r_n)=b,(t₁,t₂,t₃,⋯,t_n)=c，若 b<2a，则 b,c 都是 (p_n,2a) 内的素数，2a=b+c 就是 2a 的在区间 (p_n,2a) 内的一对哥猜分解；若基底中某奇素数 p_i 与 2a 不存在对应相等的坐标分量，则 2a=p_i+(2a−p_i) 是一个哥猜分解.

6.2 区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 中坐标分量 r_i≠0,r_i≠h_i 的整数的占比

定理 9. 对于 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n} 上的任意一个确定的偶数 2a=(h₁,h₂,⋯,h_n)，设 x=(r₁,r₂,⋯,r_n) 是任意的整数，r_i=h_i 时记 s_i=1，r_i≠h_i 时记 s_i=2. 记区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 中坐标分量 r_i≠0,r_i≠h_i (i=1,2,⋯,n) 的整数的占比为 g_2a(n)，则

证明： 基于已知条件，让 rk 在 {0,1,2,⋯,p_k−1} 中取值，rj 在 {0,1,2,⋯,p_j−1}(j≠i) 中取值，各自独立取值后搭配，由乘法计数原理，共形成 p₁p₂⋯p_n 个坐标，对应着区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 上全部 p₁p₂⋯p_n 个整数.

让 r_k 在 {0,1,2,⋯,p_k−1} 中取值使 r_i≠0,r_i≠h_i.

• h_i=0 时，r_i≠0 与 r_i≠h_i 表示同一种情形，情形数 s_i=1，r_i 的取法种数为 p_i−s_i；

• h_i≠0 时，r_i≠0 与 r_i≠h_i 表示两种不同的情形，情形数 s_i=2，r_i 的取法种数为 p_i−s_i.

同理，让 r_j(j≠i) 在 {0,1,2,⋯,pk−1} 中取值使 r_j≠0,r_j≠h_j.

• h_j=0 时，r_j≠0 与 r_j≠h_j 表示同一种情形，情形数 s_j=1；

• h_j≠0 时，r_j≠0 与 r_j≠h_j 表示两种不同的情形，情形数 s_j=2.

各自独立取值后相互搭配，由乘法计数原理，共形成 (p₁−s₁)(p₂−s₂)⋯(p_n−s_n) 个坐标分量 r_k≠0,r_k≠h_k (k=1,2,⋯,n) 的坐标，一一对应地对应着区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 内的 (p₁−s₁)(p₂−s₂)⋯(p_n−s_n) 个整数.

进而得到区间 [1, p₁p₂⋯p_n] 中坐标分量 r_i≠0,r_i≠h_i (i=1,2,⋯,n) 的整数的占比为（准确值）：

“平均占比” 之说明：

让 [1, p₁p₂⋯p_n] 中的整数 x 从 1 开始，每次增加 1 而逐渐增大，x 的各坐标分量周期性变化，所以坐标分量 r_i≠0,r_i≠h_i (i=1,2,⋯,n) 的整数的分布是客观固定的，存在必然的规律性和一定的 “均匀” 性。

得 r_i≠0,r_i≠h_i (i=1,2,⋯,n) 的整数的平均占比.

6.3 区间 [1, p_n+1²] 上坐标分量 r_i≠0,r_i≠h_i (i=1,2,⋯,n) 的整数的占比

6.4 偶数 2a 在区间 (p_n,2a) 上哥猜分解对数的下界

对任意偶数 2a(≥50)，存在整数 n(≥4) 使 p_n²<2a<p_n+1²，建 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n}，设 2a=(h₁,h₂,h₃,⋯,h_n)。根据推论 3，区间 [1,2a] 中坐标分量 r_i≠0,r_i≠h_i (i=1,2,⋯,n) 的整数的占比的一个下界 g_2a,I(n)=I_2a(n)g_2a(n)。

对于拆分 2a=(h₁,h₂,h₃,⋯,h_n)=(r₁,r₂,r₃,⋯,r_n)+(t₁,t₂,t₃,⋯,t_n)，(r₁,r₂,r₃,⋯,rn)=b,(t₁,t₂,t₃,⋯,tn)=c，当 b<2a 且坐标分量 r_i≠0,r_i≠h_i (i=1,2,⋯,n) 时，由偶数拆分原理知， 是素数，2a=b+c 是对 2a 的在区间 (pn,2a) 上的哥猜分解。

考虑到 2a=b+c 与 2a=c+b 是对 2a 的相同分解，得到：

定理 11 记 2a 在区间 (p_n,2a) 上哥猜分解的对数为 G(p_n,2a)，则

G(p_n,2a)≥1/2⋅2a⋅g_2a,I(n)=a⋅g_2a,I(n)≥⌈a⋅g_2a,I(n)⌉（下界）.

例 6. 估计偶数 120、1890、2026 的哥猜分解对数.

解：（1）估计 120 的哥猜分解对数.

p₄²<120<p₅²，建 4 维基底，120=(0,0,0,1)，则 s₁=1,s₂=1,s₃=1,s₄=2.

p₂=3=(1,0,3,3) 与 120 的第 2 位坐标分量都是 0，p₅=5=(1,2,0,5) 与 120 的第 3 位坐标分量都是 0，p₇=7=(1,1,2,0) 与 120 没有对应相等的坐标分量，3+117 与 5+115 都不是 120 的哥猜分解，7+113 是 120 的哥猜分解.

综上，估计 120 约有 12 对哥猜分解.

事实上，120 有且仅有 7+113, 11+109, 13+107, 17+103, 19+101, 23+97, 31+89, 37+83, 41+79, 47+73, 53+67, 59+61 等 12 对哥猜分解.

（2）估计 1890 的哥猜分解对数.

p₁₄²=432<1890<472=p₁₅²，建 14 维基底 {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43}，1890=(0,0,0,0,9,5,3,9,4,5,30,3,4,41)，s₁=s₂=s₃=s₄=0,s_j=2 (j=5,6,⋯,14).

写出基底奇素数对照，与 1890 不存在坐标分量相等的数有且只有 11,13,17,19,23,29,43 等 7 个数，1890 的含有基底素数的哥猜分解有且只有 7 对.

所以，估计 1890 有约有 87 对的哥猜分解.

事实上，查阅素数表检验，1890 有且仅有 11+1879, 13+1877, ..., 43+1847, 59+1831, 67+1823..., 937+953 等 91 对哥猜分解.

（3）估计偶数 2026 的哥猜分解对数.

p₁₄²=43₂<2026<47₂=p₁₅²，建 14 维基底 {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43}，2026=(0,1,1,3,2,11,3,12,2,25,11,28,17,5)，s₁=1, s_j=2 (j=2,3,⋯,14).

写出基底奇素数对照，与 2026 不存在坐标分量相等的数有且只有 5,23,29 等 3 个数，2026 的含有基底素数的哥猜分解有且只有 3 对.

所以，估计 2026 有不低于 29 对的哥猜分解.

事实上，查阅素数表检验，2026 有且仅有 5+2021, 23+2003, 29+1997, 47+1979, ..., 977+1047, 1013+1013 等 33 对哥猜分解.

1890<2026，且两数比较接近，凭直觉判断，1890 的哥猜分解对数应该少于 2026 的哥猜分解对数，差距不会太大，但实际情况与直觉情况反差太大，1890 的哥猜分解对数 91 几乎是 2026 的哥猜分解 33 的 3 倍，原因在于：1890 对应着 s₁=s₂=s₃=s₄=1, s_i=2(i=5,6,⋯,14)，2026 对应着 s_i=2(i=2,3,⋯,14)，2026 对应着s_i=2(i=2,3,⋯,14)

这个比值对哥猜分解对数产生了很大影响.

6.5 大于等于 4 的任意偶数都可以分解为两个素数的和

定理 12. 大于等于 4 的任意偶数都可以分解为两个素数之和（哥德巴赫猜想成立）.

证明： 已知偶数 4,6,8,10,⋯,48 都可以分解为两个素数之和.

对 ∀2a≥50(a∈Z)，存在素数 p_n,p_n+1 使 p_n²<2a<p_n+1²(n≥4)，建立 n 维基底 {p₁,p₂,⋯,p_n}，设 2a=(h₁,h₂,h₃,⋯,h_n), i=1,2,⋯,n, h₁=0.

根据定理 8，2a 在 (p_n,2a) 上哥猜分解对数 G(p_n,2a)≥a⋅g_2a,I(n).

事实上，50=13+37=19+31，区间 (p₄²,p₅²) 上的最小偶数 50 在区间 (p₄²,p₅²) 上存在两对哥猜分解.

所以，区间 (p₄²,p₅²) 上的任何一个偶数都至少存在一对哥猜分解.

设 2a 是区间 (p_n²,p_n+1²) 上的最小偶数，2c 是区间 (p_n+1²,p_n+2²) 上的最小偶数，则 2a=pⁿ²+1，2c=p_n+1²+1.

所以，G_l(p_n+1,2c)>G_l(p_n,2a) ③，G_l(p_n,2a) 是关于 n 的递增函数.

联合①②③式递推得到，大于等于 50 的任何偶数都可分解为两个素数之和（其实对数较多）.

综上，命题 “大于等于 4 的任何一个偶数都可以分解成两个素数的和” 是真命题，哥德巴赫猜想成立.

8. 用整数模余坐标设置信息密码示例

可以用整数模余坐标设置信息密码，举个简单例子，对信息 “我爱我家” 设置密码。

用自然数 1, 2, 3, 4 代表 “我，爱，我，家”，建立 4 维基底 {2,3,5,7}，将 4 个信息单元用 4 维坐标表示为："(1,1,1,1)(0,2,2,2)(1,0,3,3)(0,1,4,4)"，这已经是信息 “我爱我家” 的一个坐标代码，为了增强安全性，将每个单元信息添加 1=(1,1,1,1)，得到新的信息组 "(0,2,2,2)(1,0,3,3)(0,1,4,4)(1,2,0,5)"；将每个单元信息添加 2=(0,2,2,2)，得到另一新的信息组 "(1,0,3,3)(0,1,4,4)(1,2,0,5)(0,0,1,6)"；将每个单元信息减去 6=(0,0,1,6)，再得到新的信息组 "(1,1,0,2)(0,2,1,3)(1,0,2,4)(0,1,3,5)"；… 多样的数字变化，难以发现变化规律，具有较好的安全性。这样的数字信息变换，交由计算机处理将快捷方便。

再如，某个文本文件整体进行加密，选用 1234 作为密码加密，然后用四维基底的坐标转换为 "(1,1,1,1)(0,2,2,2)(1,0,3,3)(0,1,4,4)"，再将每个单元信息添加 2=(0,2,2,2)，得到新的密码信息组 "(1,0,3,3)(0,1,4,4)(1,2,0,5)(0,0,1,6)"，用这个新的密码信息组进行传输，传输过程中就增加了一定的 “安全性”，信息接收方用计算机将信息密码还原为原始密码 1234，等等。

总之，可以将目标信息设置为数字代码，建立恰当的 n 维基底，将数字代码用模余坐标表示，然后再设置添加密码信息，并且根据安全需要适时更换密码。所有信息代码设置和密码添置与翻译都可以交由计算机快捷处理。怎样用整数模余坐标设置信息代码与密码，探索研究，将会得出丰富、实用、安全的方法途径。

整数模余坐标体系，是刚诞生的一个数学婴儿，预估在数论研究、密码研究方面将会发挥重要的建树作用。

参考文献：

[1] 陈景润。任何一个大于 2 的偶数都可以表示成一个素数和另一个素因子不超过 2 个的数的和。中国科学，1973 (3): 111-128.

[2] 陈景润。初等数论 (I)，哈尔滨工业大学出版社 [M]. 黑龙江哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012 年 2 月第 1 版，64-64.

[3] 陈景润。初等数论 (I)，哈尔滨工业大学出版社 [M]. 黑龙江哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012 年 2 月第 1 版，5-5.

[4] 贝特朗。贝特朗假设，百度。科普中国 - 科学百科词条编写与应用项目审核（王海峡审核）.

[5] 程晓亮，丁思敏。张益唐与孪生素数猜想，中学生数学，2024 年 11 月下.

[6] 王桥。天才数学家张益唐，中学生数理化，2024 年 12 月.

Exploring the Distribution Patterns of Prime Numbers Using Integer Modulo Coordinate System

Zhang Guokun

(Qujing No. 1 High School, Qujing 655000, Yunnan, China)

Abstract: Objective: To investigate the distribution patterns of prime numbers, examine the Goldbach conjecture and the twin prime conjecture, and explore the application of integer modulo remainder coordinates in information encryption. Methods: An integer modulo remainder coordinate system was constructed. This system was then employed to study the distribution of prime numbers, to conduct proof-oriented explorations of the twin prime conjecture and the Goldbach conjecture, and to design preliminary information encryption schemes. Conclusion: An integer modulo remainder coordinate system was established. Using this framework, the distribution of primes bounded by integer squares and the distribution of twin primes bounded by prime squares were estimated. Proof-centered explorations were carried out for the Goldbach conjecture, the (generalized) twin prime conjecture, Legendre’s conjecture, and patterned prime conjectures. A simple illustrative example of applying integer modulo remainder coordinates to information encryption was provided.

Keywords: Integer modulo remainder coordinate system; Distribution of prime numbers; Goldbach conjecture; Twin prime conjecture; Legendre’s conjecture; Information encryption