1、费马对于三类奇素数的划分。

费马首先将全体奇素数，分成了4n+1和4n-1两大类型，并且发现所有的4n+1形素数，都可以唯一的表示为二个数的平方和，所有的4n+3形素数却不能。随后费马又将所有的4n+3形素数，进一步分为8n+3和6n+1两种类型。同时也进一步发现，所有的8n+3形素数，都可以表示为2x²+y²形式的三个数的平方和。所有的6n+1形素数，则可以表示为3x²+y²形状的四个数的平方和。

费马对于三类奇素数的上述划分，如果仅仅从它们的表达形式，和分拆方式上来看，似乎问题不大，然而，若要再进一步考究造成此类现象的原因，好象问题还是不少。尽管费马知道所有的4n+1形素数，都可以唯一的表示为二个数的平方和，他说他运用了自己所独创的“无穷递降法”，不仅彻底的解决了其中的存在性和唯一性问题，而且还一并找到了解决这些问题的具体的算法，遗憾的是大家一直没有找到他的那个“无穷递降法”。

那时的费马根本不可能完全知道，这类4n+1形素数的来历的。因为这类4n+1形素数，尽管主要来自于2^u+1（u为偶数）形数的常规分解，但是其中还是有一部分，是来自于2^v±1（v为奇数）形数的同周期分解的。由于2在2^u+1（u为偶数）形数里的周期为2u，因此2在其素因子里的周期都是双偶数，这是2^u+1（u为偶数）形数的素因子，全部都是4n+1形素数的根本原因。

为什么2^v±1（v为奇数）形数的同周期分解，它们的素因子之中必定也会出现4n+1形素数？其实原因也很简单，因为如果没有4n+1形素数，那么这样的同周期分解，就无法予以还原。由于同周期的分解问题，是笔者不久之前的新发现，因此今天也几乎无人知道同周期分解问题，所以我们不能强求费马也要知道同周期分解问题。当然，如果不知道2^v±1（v为奇数）形数的同周期分解，也会出现4n+1形素数，那么对于4n+1形素数的认识就是不完整的。

费马认识到所谓的4n-1形素数，其实并非是一种类型的素数，它实际上是由8n+3形素数，和6n+1形素数二种素数所组成。其中的8n+3形素数，是2^w+1（w为奇数）形数的素因子，它们可以分拆为2x²+y²形式的三个数的平方和。而其中的6n+1形素数，则是2^w-1（w为奇数）形数的素因子，它们可以分拆为3x²+y²形式的四个数的平方和。但是，费马没有认识到这两种类型的素数，同样仍然具有存在性、唯一性、可算性等种种特性规律。

2、第三种类型奇素数的分拆。

费马对于第三种类型奇素数的认识，是十分肤浅和极不完整的。费马没有认识到2^w-1（w为奇数）形数的同周期分解，除了会出现4n+1形素数之外，还会出现一种4n+3形素数，它们是不能转变为6n+1形素数的。而且，它们是只能分拆为2x²+w（w为4n+1形素数）形式的，不能分拆为3x²+y²形式。例如，2¹¹-1=23×89，2²³-1=47×178481，其中的23和47都不是6n+1形素数，23只能分拆为23=2×3²+5=3²+3²+2²+1²，47只能分拆为47=2×3²+29=3²+3²+2²+5²。

其实，费马的6n+1形素数，也是可以分拆为2x²+w（w为4n+1形素数，或若干个4n+1形素数的积）形式的，只是在将w分拆为二个数的平方之和的时候，其中必定有一个平方数也为x²而已。例如，2⁵-1=31=2×3²+13=2×3²+3²+2²=3×3²+2²。再如，2²⁹-1=233×2304167，由于其中的233属于6n+1形素数，因此233=2×3²+5×41=2×3²+3²+14²=2×3²+6²+13²。

为什么一个4n+3形素数，只能分拆为2x²+w（w为4n+1形素数）形式？因为在4n+3形素数里，由于2是一个二次剩余，因此2x²也是一个二次剩余，从而使得w是一个4n+1形的非二次剩余。再根据高斯的二次互反律，可以知道w还必定是一个4n+1形素数。那么，为什么一个6n+1形素数，却可以分拆为3x²+y²形式？因为在6n+1形素数里，由于3是一个非二次剩余，因此3x²也是一个非二次剩余，从而使得y²=6n+1-3x²必定是一个二次剩余。

1743年，欧拉首先发现了下面四个数平方和之间的恒等关系，然而他自己却未能证明四平方和定理。1770年，拉格朗日错误的运用了这个恒等关系，错误的证明了每个正整数都能表示成为四个整数的平方和的问题。其实，欧拉自己对于表素数为二平方和的证明也是错的，这个错误的证明却被高斯大为赞赏。

（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）（y₁²+y₂²+y₃²+y₄²）=A²+B²+C²+D²，

其中A=x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+x₄y₄，B=x₁y₂-x₂y₁-x₃y₄+x₄y₃，C=x₁y₃+x₂y₄-x₃y₁-x₄y₂，

D=x₁y₄-x₂y₃+x₃y₂-x₄y₁。

如果将4n+3形素数和6n+1形素数，统一的表示为p=2k+1（k为4n-1形素数）形素数，则有2x²+y²+z²=mp。其实，对于上述四平方和恒等式来说，如果x₁=x₂，y₁=y₂，则有C=D。这就是说，对于这个四平方和恒等式来说，若是其中有两个数相等，那么这样的恒等关系仍然成立。由于在H_mp合数环里具有mp=2x²+y²+z²规律，因此在其H_m分数环和H_p分数环里，就必定同样具有p=2x₀²+y₀²+z₀²或m=2x₀²+y₀²+z₀²规律。

3、拉格朗日的四平方和定理。

我在“探究表一数为四平方和问题”一文中尚未认识到，拉格朗日对于四平方和定理的证明根本就是错的，当时只是觉得他的证明实在太晦涩难懂了，似乎许多地方都没有交代清楚。我总觉得对于这个定理的证明，应该首先证明表素数为二平方和，三平方和以及四平方和的问题，撇开这三个问题的证明，就直接证明表一数为四平方和问题，是十分困难的。

由于“表素数为二平方和的唯一性问题”的退稿，让我总算在网上买到了一本冯克勤的《平方和》，粗读冯克勤的《平方和》，就立即发现在二平方和问题上：陈景润和欧拉对于其存在性的证明完全不同；王元和高斯对于其唯一性的证明则完全一致；只是大家全都没有给出如何得到这二个平方数的方法。冯克勤的《平方和》还让我知道了：高斯完全是为了证明三平方和问题，才搞出了他的那套二次型理论的。

细读冯克勤的《平方和》，则发现所谓的“费马的无穷递降法”根本就是错的，因此欧拉对于二平方和的证明，以及拉格朗日对于四平方和的证明也都是错的。由此也让我得到了表素数为二平方和、三平方和、四平方和，最简洁明了的证明方法。长期以来我一直在思考，为什么我们今天的纯粹数学会变得如此的晦涩难懂？现在我似乎已在冯克勤的《平方和》里找到了解答。

我发表在“微科普网”上的“欧拉对于二平方和的证明”，则是我对于退稿意见的驳斥。我在这篇文章里，首先给出了二平方和，三平方和以及四平方和的恒等关系，这是合数环与其两个分环之间的一种比较独特的关系。只要这两个分环的模数是互素的，那么这个合数环的种种特性规律，都是由这两个分环传递给它的。反过来也就是说，只要这个合数环具有某种特性规律，那么这两个分环也必定会具有这种特性规律的。