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高维度的致密球体(修改)

投稿时间:2019-05-07 12:36 投稿人:马列光 【字号: 访问量:

我把线段连续变化的集合称为线段的多维空间。多维空间可以用各层曲线的差异集合表示。并且有可度量的几何关系。对于分形体,如果用圆面积来建立模型,那么面积与维度有斜率关系,数学式为

N(R)RD           (1)                                         

在上式中,N(R)为分形体圆面积,R为圆半径。例如用不同半径的同心圆去覆盖随机无序质点凝聚的集团,计算出各圆内该集团所占的面积,然后将计算的面积N(R)与对应圆的半径R取对数,并在对数座标下作图,所得的斜率为上式中的分形维数D

物理学有一个扩散限制的凝聚(DLA)模型,1981年由威顿及桑德建立,这个模型模之初是为了解释煤灰的形成和胶体微粒的絮凝,后来被广泛用于与生长有关的研究。(图略)

 在以上分形模式中,R是变量,D为常数。但我更关心D为变量的情况,自相似体可以不是分形体,下面取自相似体的维数为正整数,研究若R一定时,D为变量情况下,自相似体体积的变化。设球体半径R为常数,有

kRD                                (2)

上式中K为体积扩大倍数,D为变量,有以下情况:

D0R1k1,在零维情况下,尺度和体积没有变化。

D1kR线度与体积放大倍数相等。

D2kR2,等式两边同乘以π,πk为圆的面积,即πk=πR2,。

D3kR3,等式两边同乘以3/2π,3/2πk为圆球体积,即3/2πk4/3πR3,。

DnkRn,等式两边同乘以系数Cn,则有

CnkCnRn                         (3)

这里,D=n,n为维度数,Cnk为多维球的体积。而CnRn维体的体积由已知伽玛函数给出,为:

     VnRnπn/2/ζ[(n/2)+1]CnRn              (4)                   

其中Vn为多维体的n维体积,Rnπn/2/ζ[(n/2)+1]是伽玛函数。πn/2/ζ[(n/2)+1]Cn是系数。将k带入,即有

VnCnk    (kRn)                                                                      

在上式中,k为自相似体体积倍数,上式表示,若多维体是自相似体,则多维体体积随体积倍数k而变化。多维空间膨胀还是缩小,取决伽玛函数值,如果函数为一个常数,那么,多维体体积增加,如果伽玛函数呈几何性趋大,则多维体初级趋大,然后随着维度增大而加速趋小。

在公式(4)中,伽玛函数随n按几何加速变大,对于n取整数,0维、1维、2维、三维、4维、5维、6维、7维、8维,……半径为Rn维球体的体积分别近似为12R、πR24.19R34.93R45.26R55.17R64.73R74.06R8,……,当n趋于无穷大时,体积趋于零。(图略)

根据以上分析,下面给出高维度的致密球体的证明:

VnCnRn,带入物质密度公式:ρn=M/V n                                        得到

   PnMCnRn      (5)                       

或者  MPn CnRn                             

在上式中,Pn为物质密度,M为物质质量,Cn为随维度变化的伽玛函数,R为多维球体半径,Rn为多维球体的体积,当M一定时,即在球体质量不变时,当n趋于无穷大时,由于伽玛函数的性质是由大变小,球体体积趋于无穷小,物质密度却趋于无限大。

物质密度无限大的无限小物质,相当于一个无穷小点,这些无穷小点的组合,即无限多的无穷小点的集合,仍然是无穷小。

质量和半经一定的球体,当维度趋于无穷大时,体积趋于无限小。无限小的高维体的集合仍然是密度无限大的无限小物体。由于多维体有质量为MM的无限多的集合为无限大的质量,因此,在无限小的高维空间中,有无限大的质量。这数学结论令我惊讶。

尽管我们从直觉上难以理解虚空有无穷的高维体质量,但是,在经验中还是有很多例子和现象表明高维度、高密度、低体积的东西的存在。大脑的神经网络和计算机的集成电路都是例子,集成电路越做越小,计算速度却越来越快,在三维空间中,多维度的网络系统内部随着节点数的增加而更加复杂和微型化。

 

注释

①[]约翰.巴罗著,陆栋译《大自然的常数:从开端到终点》第221页,图10-10,上海世纪出版社2005年版。