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印度养殖鸡、蛇、蜈蚣引出的 3x+1的数学问题

投稿时间:2018-07-10 22:09 投稿人:王晓明 【字号: 访问量:

生态农业的问题

大家知道一个斐波那契数列的故事,由兔子繁殖引出的著名数学问题,其中一些内容至今无法解答。下面同样是一个养殖的故事,产生的问题难倒了所有的数学家。

一、故事起源

印度有一个农民同时养殖鸡、蛇和蜈蚣。

但是有一个困难,苦恼这个农民,鸡要吃蜈蚣,或者蛇要吃鸡,但是,蜈蚣要咬死蛇。于是有人出主意,把三种动物一起养殖试试?

于是,农民把三种动物都是单独关在一个笼子里,每一个笼子都是有一只鸡,一条蛇和一条蜈蚣组合。

创新一种生态养殖业。

结果发现,三种动物互为死敌,但是非常安全,鸡知道自己如果吃了蜈蚣,蛇就没有天敌,蛇就会吃了自己;蛇也知道,如果自己吃了鸡,蜈蚣就没有天敌,自己就会被蜈蚣咬死;蜈蚣也是懂得不能咬死蛇,否则,自己就会成为鸡的午餐。

一天,农民出门去了,他的儿子在家,想趁爸爸不在,弄一只鸡吃,于是,他从一个笼子里抓了一只鸡吃了。这个笼子的蜈蚣发现没有了天敌鸡,顺便就咬死了蛇。为了不让爸爸回来发现自己吃了一只鸡,儿子打算把那个笼子的蛇和蜈蚣合并到其他笼子里,结果一看,只有一条蜈蚣,于是顺手把蜈蚣扔进第二个笼子。

第二个笼子有两条蜈蚣了,一共有4只动物。会出现什么情况?鸡会这样想,我可以先吃一条,不会影响平衡。鸡如是吃了一条蜈蚣,打算留下一条蜈蚣,但是这个时候蛇看到鸡吃蜈蚣,并没有发现还有一条蜈蚣,如是把鸡给咬死吃了。

哪里知道儿子是个健忘的人,又把幸存的蜈蚣扔进第三个笼子,....。一直到所有的鸡和蛇、蜈蚣都被消灭,最后只剩下一条蜈蚣。

有人把这个故事归结为4-2-1循环。

参见3x+1猜想:https://baike.so.com/doc/9544304-9888891.html

二、故事扩展到任何一个数

角谷静夫是日本的一位著名学者.他提出了两条极简单的规则,如果一个自然数x是奇数就乘以3再加1,如果是偶数就除以2,一直到使得成为奇数。可以对任何一个自然数x进行变换,最终使它陷入“4-2-1”的死循环。

举个例子,最开始的数取7,我们得到下面的序列:

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

(一)把问题公式化理论化

我把角谷猜想规则用公式表示:

通过下面公式迭代,我们把3x+1问题转换成为一个迭代方程,也就纳入了一个控制论的体系了,因为,只要有输入,输出,反馈.....等等,我们实际上已经进入了控制理论。

 

,.........(1)

 

这里公式中每一个X  都是奇数,m=1,2,3,....。m直到把3X+1中的偶数析出抵消,使得(1)式右边是奇数为止。

 

如果不是1而是其他奇数,就继续迭代。一直到1为止。

即使得(1)式等于1:

 

,....(*)

(二)举例

 

例如,1 ,代入公式:  结束。

 

例如,3,   ;   ,结束。

 

角谷是说,输入X=1,3,5,7,9,11,....任何一个奇数,直至无穷,经过(1)迭代,都是(1)式等于1。

三、问题难倒了全世界的数学家

 

需要证明两个结论以后才有可能完成:

1、任何一个X值 进入迭代以后不会回到自身,就是不会发生循环。如果发生循环,表明是一个反例,否定了角谷猜想。

2、X 进入迭代以后数值不会发散,就是不会越来越大直至无穷,而是在一个有限的范围内更替。

四,倒行逆施

由 把(1)式中的 ,

在(2)式一步到位等于1的有  形的数:

5, 21, 85, 341,1365, 5461, 21845, .....。因为这个是把(2)式反推的结果。

 

 

在(3)式二步到位等于1的有 形的数:3,13,53, 113, 227, 909,....。因为这个是把(3)式反推的结果。

 

 

在(4)式三步到位等于1 3的有形的数:11,17, 75,301,1205,...。因为这个是把(4)式反推的结果。

.............

我们可以一直进行下去:

 

3x+1猜想其实就是说,无论是什么奇数值,最终会使得(5)式中分子=分母。

例如,=27,n=40时,分子=分母。

3x+1猜想反过来说就是:

........,可以构造一切奇数,或者

说,奇数轴上每一个点,都是可以由这个数列产生的奇数覆盖。

五、问题进入了一个形式化的阶段

这个猜想是不是递归可枚举集?下一步如何证明?是否可以利用(5)式证明猜想成立,或者证明迭代不会循环。

这个问题仍然是世界上最著名的问题。