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大区间素数分布的若干有趣现象

投稿时间:2018-06-14 23:58 投稿人:齐宸 【字号: 访问量:

素数,飘忽不定、乱云飞渡。

素数,普遍认为的分布规律是没有规律。时而连续出现,时而又相隔很远很远。有远亲、有近邻,地球对面也还有几个好朋友。

素数,真的就没有规律吗?

合数可以用公式来表示,而素数且不能用公式来表示。这就是素数。

不过这里其实就蕴含着秘密。

既然合数能用公式表示,间接的也就说明了,素数必须服从这些公式的限制。而研究合数,其实也是研究素数。

有2个根深蒂固的观念:

1、素数的个数总是按照自然数增加10倍来统计展现的。因为这里一直沿用π(x)与x/lnx的统计方法。

2、100以内有25个素数,1000以内有168个素数。就产生了一种根深蒂固的观念:素数越来越稀疏。

当然这些都没有错误,否则也不会一直陪伴着素数研究到现在,但它禁锢了人们的思想。有一些数据似乎与之相悖。

列举一些四胞胎素数的例子,

四胞胎素数是很少的,在自然数1000亿以内仅仅有1209317组。平均间距为82691。两组之间相距是很远的。但总有一些间距仅仅为30的两对四胞胎素数稀稀拉拉的出现。在1000亿以内共有这样四胞胎素数267对,他们是如何分布的呢?

200亿以内有90个;200-400亿之间有55个;

剩下的如何分布的呢,你不会相信的:

400-600亿之间有41个;

600-800亿之间有41个;

800-1000亿之间有40个;

这样的分布说明了什么?均匀分布?大家肯定不会相信的,我也不信,那似乎就只能是巧合了。大家一定也会认为是这纯属巧合。素数嘛,飘忽不定,怎么分布都有可能,但就是没有规律。至少大家还没有发现其分布规律。

姑且认为是一种巧合吧,很巧的巧合。

大家再看看四胞胎素数的分布。

在  97-98亿之间存在1438个,与上一区间比值为0.976。

在  98-99亿之间存在1466个,与上一区间比值为1.019。

在 99-100亿之间存在1458个,与上一区间比值为0.995。

在100-101亿之间存在1512个,与上一区间比值为1.037。

在101-102亿之间存在1465个,与上一区间比值为0.969。

5个区间的平均比值为0.9998。

巧合吗?

看看200亿的四胞胎素数数据:

在196-198亿之间存在2702个,与上一区间比值为0.987。

在198-200亿之间存在2671个,与上一区间比值为0.989。

在200-202亿之间存在2631个,与上一区间比值为0.985。

在202-204亿之间存在2588个,与上一区间比值为0.984。

在204-206亿之间存在2708个,与上一区间比值为1.046。

5个区间的平均比值为0.9982。

也是巧合吗?

可以这样认为,任意一个很大的数字,向其左右各延伸一段很长的距离,比如这个数字的0.5%,或者1%等。那么在左右两个区间内所含四胞胎素数的个数是基本相同的。素数、孪生素数、三胞胎素数等一切素数类数字都具有这样的现象(这种方法似乎可以证明四胞胎素数是无限的)。

还以四胞胎素数为例。

大家都认为素数是越来越稀疏的。似乎还认为四胞胎素数不但越来越稀疏,可且可能是有限的(维基百科认为四胞胎素数可能有限)。越来越稀疏一般认为是随着自然数增加,四胞胎素数在自然数中的占比逐渐减少。但这里有两种情况,第一种情况是自然数每增加一倍,四胞胎素数增加的倍数越来越小。第二种情况是自然数每增加一倍,四胞胎素数增加的倍数越来越大。第一种情况可能导致四胞胎素数逐渐减少直至最后一个最大的四胞胎素数出现,以后就再也没有四胞胎素数了。第二种情况将导致四胞胎素数逐渐接近自然数的增长倍率或超过自然数增加比率,也就是四胞胎素数无限。

那真实的四胞胎素数是如何演绎的呢?

自然数超过30万以后,四胞胎素数增长倍率逐渐稳定,并朝着逐渐增加的趋势发展。具体数字如下:

自然数 四胞胎素数个数  增长倍率

655369            124   1.722222222

1310729           214   1.725806452

2621449          363  1.696261682

5242889           560  1.542699725

10485769         930  1.660714286

20971529      1529  1.644086022

41943049      2487  1.626553303

83886089      4189  1.684358665

167772169       7054  1.683934113

335544329      12006  1.702013042

671088649      20557  1.71222722

1342177289     35848  1.743834217

2684354569     62387  1.740320241

5368709129    109113 1.748970138

10737418249   191356  1.753741534

21474836489   338325  1.768039675

42949672969   599598  1.772254489

85899345929   1065802 1.77752761

自然数每次翻倍,四胞胎素数也跟着逐渐加大增长倍率。似乎符合前文所述“第二种情况将导致四胞胎素数逐渐接近自然数的增长倍率或超过自然数增加比率”。

其实,素数、孪生素数、三胞胎素数、六素数等素数类数字都有这一特点。

比如素数:

自然数        素数个数    增长比例

5368709129 251437996 1.934892443

10737418249   487025115 1.936959102

21474836489   944293561 1.938901161

42949672969   1832604295 1.940714594

85899345929   3559707892 1.942431272

看到了吗,自然数每增加一倍,素数个数也逐渐增加一倍。

如果能够证明合数的一些新规律,那么素数也就逐渐显现出她迷人的魅力了。

合数是可以用公式表示的。