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简单闭曲面整点个数的问题

投稿时间:2018-01-05 17:25 投稿人:倪晓勇 【字号: 访问量:

1、引言

所谓整点即有整数坐标的点,它们大多是二维的问题,但有一些也可以表为高维的形式。关于更一般的闭曲线内部整点个数的问题,捷克数学家M.V.Jarnik得到定理:设L≥1表示一简单闭曲线的长度,A表示曲线围成区域的面积,N为曲线内部所含整点的个数,则必有|A-N|<L。在这些成果和基础之上,参见前人的研究思路和方法,本文对简单闭曲面整点个数的问题进行研究,得到定理:设S≥1表示一简单闭曲面的表面积,V表示闭曲面围成区域的体积,N表示闭曲面内部所含的整点的个数,则必有|V-N|< S

2、主要引理

引理1:在边长为1的正方体中,任作一连续曲面,它的两个端线在正方体的端面上,若曲面与正方体的二对角线相交,则曲面的表面积S必不小于1。

证明:曲面的两个端线在正方体的一对对面上,则显然S≥1。

A的两个端线在正方体的两相邻端面上,沿一对角线将正方体剖开,其中正方体的一边设为AB,邻边为BC,则曲面与AB交于点p,与BC交于点q,与正方体两对角线分别交于点p1和点q1,点p1和点q1在AB上投影分别为点a和点b,点q1在BC上投影于点c。易见,S≥(ap1+p1q1+q1c)×1≥Aa+ab+bB=AB=1。

至于A的两个端线在正方体的同一面上的情形,可用同法证之。故引理1得证。

引理2:一闭曲面在边长为1的正方体中,设闭曲面的表面积S≥1,闭曲面围成区域的体积为V,闭曲面所含整点的个数为N,则必有|V -N|< S

证明:当闭曲面所含整点的个数为N=0时,|V -N|=V<1≤S。当闭曲面所含整点的个数为N=1时,|V -N|<1≤S。故引理2得证。

引理3:在边长为1的正方体中,任作一不通过正方体中心的连续曲面A,A的两个端线在正方体的端面上。曲面A将正方体分为二部分,令△为其中不包含正方体中心的一部分,则△的体积必小于A的表面积。

证明:设m和n为A的两个端线,m在正方体的底面,现分别考虑以下各种情形:Ⅰn也在正方体的底面,m的右边,Ⅱn在正方体的右侧面,Ⅲn在正方体的上表面,Ⅳn在正方体的左侧面,Ⅴn也在正方体的底面,m的左边。

在前两种情形中,易见△完全落在一个底面积为A的表面积,高为1的长方体中,因此得到△的体积小于A的表面积。

在后三种情形中,由引理1可知S≥1,所以有V<1≤S。故引理3得证。

3、定理及证明

定理:设S≥1表示一简单闭曲面的表面积,V表示闭曲面的体积,N表示闭曲面内部所含的整点的个数,则必有|V -N|< S

证明:以I表示闭曲面所围成的区域,在空间上作网,以直线

x=l+1/2,y=m+1/2,x=n+1/2,  (l,m,n=0,±1,±2,…)

为经纬,网眼为边长为1的正方体。以Q1,Q2,…,Qk表示所有这些小正方体含有I的一部分周界,而以Ai表示闭曲面在Qi中的部分,以Ωi表示Qi与I共通部分,而定义Ni=1,若Ωi中有整点;Ni=0,若中无整点。又以Vi表示Ωi的体积,Si表示Ai表面积,于是若能证明| Vi - Ni|<Si,便得定理。

首先我们考虑整个I都在某一Q中的情形,由引理2知,定理成立。

因此我们可以不失普遍性地假定I并不整个地处在某一Q中,此时Si为若干个曲面之和,而这些曲面又将Ωi分为若干个部分Di

若整点不在任何Di中,也就是说,整点都在Ai上时,有Ni=0,0<Vi<1,1≤Si。所以,| Vi - Ni|<1≤Si

若整点在某一Di中,以ViD表示Di的体积,若Di不在I中,此时Ni=0,Si≥1,Vi≤1-ViD<1,所以,| Vi - Ni|<1≤Si

若Di在I中,则Ni =1, 1-Vi≤1-ViD,而由引理3即得1-ViD<Si,于是定理得证。

参考文献:

[1] 华罗庚,数论导引,[M],北京:科学出版社,1957