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解决“哥得巴赫猜想”的必由之路 ——着重研究“哥得巴赫函数”

投稿时间:2017-12-28 10:00 投稿人:guofuxi9 【字号: 访问量:

“哥得巴赫猜想”的原意是“对于充分大的偶数,至少可以表为一对素数之和”。

直接证明“至少有一对”是困难的。我们必须变换思路,找出大偶数x表为两素数和的种数的函数r(x),不妨称之为“哥得巴赫函数”,通过研究这个函数r(x)的分布范围与变化趋势来确定“哥得巴赫猜想”是否成立。我们倘能完全掌握函数r(x)的基本性质(必须包括x趋于无穷大时的情形)与内在原因,完美回答相关问题,也就破解了“哥德巴赫猜想”这一难题。

现行函数的定义是数学家狄里克莱给出的(欧拉逝世之后),有三种表示方法:公式法、列表法、图象法。其中各有优缺点,列表法对应关系准确,图象法直观,但都属于感性认识,惟有公式法便于研究“分布范围与变化趋势”,能上升为理性认识,解决x充分大时的情况。

对于“哥德巴赫猜想”,王元先生在《谈谈素数》一书中归结为以下命题:

(A)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。

B)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。

C)存在一个正整数c,使每一个不小于2的整数都可以表示为不超过c个素数之和。(1912年,朗道)

DDhardy,当2|N.1922年,哈代与利特伍德猜想

E2N



其中,命题(E)1937年由前苏联的伊*为诺格拉多夫基本解决。(近期又有所推进)从而,命题(B)也基本解决。1898年,法国数学家埃米勒*勒穆瓦纳提出猜想(也称李维猜想);大于5的奇数N都能写成一个素数与另一个素数之和的两倍之和。它是命题(B)的强化,仍未解决。

兹后近五十内,数学界致力于命题(C)的解决。我国的天才数学家华罗庚师从哈代,在上世纪三十年代获得重要成果,可以和前苏联的依*维诺格拉多夫齐名,50年代领导团队主攻哥德巴赫猜想,丁夏畦、王元直至陈景润取得许多重要成果,”1+2”可谓辉煌成果,但无助于命题(D)本身的解决(二者并不等价)。宣传战线误传离解决“哥德巴赫猜想”只差一步之遥,却不知两者之间存在不可逾越的鸿沟。千军万马齐上阵,只能徒劳无功。华老逝世后,1992年,王元、杨乐召开记者招待会宣布:国内外大批数学家经过250年的研究,终于确认,运用现有数学方法很难摘下这颗“数学皇冠上的明珠”,需要寻找新的、更先进的手段。“使用目前的数学方法是不可能解决哥德巴赫猜想的。”“圆法与筛法均已山穷水尽,用它们几乎是不可能证明猜想(A)的,数学家们殷切的希望新思想与新方法的产生。”否定圆法,但不能否定二百年来数学家前赴后继的努力,否定二百多年数学界的专注研究与丰硕成果。就连命题(D)(即哈代*拉马纽扬关于“哥德巴赫猜想”的渐近公式)也不应该轻易全盘否定。采取历史虚无主义,另起炉灶,只能是历史的倒退。“哥德巴赫猜想吧”的三千网友中的不少人,认识不到这一点,只能事倍功半,无所作为,因而论文无人问津。命题(D)是上世纪二十年代,大数学家哈代、里特伍德及印度天才数学家拉玛纽扬用圆法研究“哥得巴赫猜想”,哈代、利特伍德、拉马纽扬发明了圆法,提出大偶数N表为两素数和的种数公式Dhardy(N)~C2(N)*N/log(N)^2(哈代公式)

在近百年的数论研究中,被公认为精确度最高,但无法加以证明。

君佐先生收集了哥德巴赫偶数猜想的主要公式有

SELBERG(N):Dselberg(n)<=16*C1(N)*N/log(N)^2*(1+loglog(N)/log(N))(赛尔贝格公式)

WAN(N):Dwan(N)<=8*C1(N)*N/log(N)^2*(1+loglog(N)/log(N))(王元公式)

PAN(N):Dpan(N)<=12*C1(N)*N/log(N)^2*(1+loglog(N)/log(N))(潘承洞公式)

CHEN(N):Dchen(N)<=7.8342*C1(N)*N/log(N)^2(陈景润公式)

VUANHAN:Dvuanhan(N)<=SQR(N)(沃因公式)

HUA(N):Dhua(N)~HARDY(N)+O1(N)(华罗庚公式)

这些公式,大部分取自两潘名著《哥德巴赫猜想》(华罗庚先生主编,1981)仔细验证比较,得出命题(D)的公式的精确度最高。

命题(D)给出的函数关系式,体现了近现代数学的基本方法,王元先生收入书中,可见其重要性。不能用解析法证明,但它的精确度是超越其它所有 的估值公式的,应仔细研究它,去伪存真,避免它的缺陷(依赖于大数分解问题,尚无有效方法),把它加以初等化,求出一个容易证明的类似的函数关系式,揭示它与已知的初等函数的内在联系。我们知道,r(x)是定义在偶数集合上的散点列,随着偶数x的增大而波浪式增大,要具体说明其发展变化规律,必须与某一个(或几个)初等函数建立联系,作为波动范围的中心曲线,再具体确定各个r(x)的波动情况,找出其对应的偏离度,可找出任意指定范围的最大值与最小值,从而确定r(x)的整体波动范围,及发展变化趋势,绘制出可通览全貌的函数图像,给人以清晰明了的认识。我想,任何“承认圆法无法解决哥猜”的数论专家都不会否认这一点。数论界期待的新观念、新方法也应该在此。