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狭义相对论中四维矢量存在的问题

投稿时间:2017-08-20 22:50 投稿人:邓晓明 【字号: 访问量:

在闵可夫斯基四维复欧氏空间中,任意两个共原点四维正交系OO*所描述的四维矢量,如时空间隔矢量可分别写为“列矢”和“矢量实体”两种形式。设L=[aμν]为洛伦兹变换矩阵,其中μ,ν=1,2,3,4矩阵形式的列矢关系,即通常意义上的洛伦兹坐标变换的微分形式,可写为:

          (1)

矢量实体关系可写为:

          (2)

这里j,k=1,2,3。由于“矩阵”形式多为教科书采用,而“矢量实体”概念清晰明确,但几乎没有被相关文献或教科书采纳,为便于比较和讨论不妨在下面的分析中两者并用。

1.四维位移

如果令O*系的空间分量为零dx*k=0,此时,与四维系O*相对应的惯性系S*为粒子的随动系。按照现有约定,将dτ=dt*称为固有时,则(1)式可写成:

          (3)

此时,(2)式的矢量实体形式则变为:

          (4)

显然,(3)与(4)两式等价,尤其是(4)式,可看成是四维位移矢量的定义式。从中我们不难理解,矢量实体形式概念更为清晰,且不容易漏项。

对于四维位移矢量,现行文献或教科书中的记法为:

          (5)

显然遗漏了(3)式中的左边矩阵,(4)式中的等式右边项。由此带来的问题不可小觑,我们将在后面指出。

2.四维速度

    (3)或(4)式两边同时数乘不变量1/,我们可以定义四维速度矢量。设四维速度为V=ds/ dτ,空间速度分量为vj=dxj/dt,及有dτ=dt/γ,将其分别代入(3)及(4)式,得四维速度(列矢)矩阵形式:

          (6)

及四维速度矢量实体形式:

          (7)

比较现行文献或教科书中的记法:

          (8)

显然还是存在上述漏项问题。

3.四维动量

(6)或(7)式两边同时数乘(不变量)静止质量m0,我们同样可以定义四维动量矢量。我们知道m=γm0,如果设四维动量为P=Vm0,其空间分量为pj=vjm,及令mc=ε/cm0c=ε0/c,将其代入(6)及(7)式,则得四维动量矢量(列矢)矩阵形式为:

          (9)

四维动量矢量实体形式为:

          (10)

比较现行文献或教科书中的记法:

          (11)

同样存在漏项问题。

4.四维加速度及四维力的定义存在不容忽视的问题

由于受篇幅限制,暂不列举电磁学中四维矢量的例子。显然,上述四维矢量共线。其列矢形式和矢量实体形式完全等价。上述完整的基本方程形态,本质是受洛伦兹变换的约束。矢量实体形式方程的模都有具体物理意义,特别是对四维动量矢量求模,参见(10)式,我们可以轻松得到狭义相对论的核心定律:

          (12)

参见(5)、(8)及(11)式,现行文献或教科书中对四维矢量的记法,遗漏了矩阵形式等号左边的列阵,参见(3)、(6)及(9)式;也即遗漏了矢量实体形式方程等号最右边的项,参见(4)、(7)及(10)式。这在本质上忽视了洛伦兹变换的应有约束。

显然,现行理论定义的“四维加速度”及“四维力”矢量,不但与本文所讨论的上述四维(共线)矢量本质不同,而且忽略了洛伦兹变换的约束,即仅根据(8)及(11)式进行定义(本质上进行求导),在理论上是不成立的。

笔者发现,如果考虑洛伦兹变换的约束,对(6)或(7)式求导定义四维加速度,则为:

          (13)

一般文献或教科书[1]遗漏了右边项,而将“四维加速度矢量”简记为:

          (14)

同理,如果考虑洛伦兹变换的约束,对(9)或(10)式求导定义四维力,则为:

          (15)

一般文献或教科书[1]也都遗漏了右边项,而将四维力简记为:

          (16)

显然,现有文献及教科书中所表达的“四维加速度”(14)式及“四维力”(16)式并不完备(漏项)。若考虑不漏项的情形,则(13)及(15)式都不是洛伦兹协变量。

参考文献

[1]刘辽等 《狭义相对论》,科学出版社,2008年7月第二版,2011年4月第二次印刷。