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汤姆森灯悖论的逻辑分析

投稿时间:2016-11-13 11:48 投稿人:李敏 【字号: 访问量:

我于2014年1月11日在科学智慧火花数学栏目中发表了一篇文章,名为《抛球悖论的逻辑分析》(http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=14316),介绍了笔者对于抛球悖论的一种解释方法。本文所介绍的汤姆森灯悖论与抛球悖论在逻辑结构上是完全相同的,因对这个悖论有更为深入的思考,所以将笔者对于此问题的粗浅见解提出来,供对此感兴趣的学者们略作一些参考。

首先简要介绍一下笔者此前对于抛球悖论的解释方法:

抛球悖论是指:令一小球在A和B两处做往返运动,首先小球从A处抛到B处时所用的时间为二分之一分钟,从B处抛回A处所用的时间为四分之一分钟,依此类推,来回抛球时间依次是:1/2,1/4,1/8……1/2^n……问:当时间到达1分钟时,小球是落在A处的位置?还是落在B处的位置?

这个问题曾在理论界引起激烈的争议,长时间来一直悬而未决,笔者对于此问题的解释方法为:以抛球的时间间隔为参数来进行推断,在小球的运动时间段里,小球从一处抛到另一处的时间节点分别是:1/2,3/4,7/8,15/16……,可以计算出来:当时间到达1/2分钟时,小球从一处抛到另一处的时间间隔为1-1/2=1/2分钟;当时间到达3/4分钟时,小球从一处抛到另一处的时间间隔为1-3/4=1/4分钟;当时间到达7/8分钟时,小球从一处抛到另一处的时间间隔为1-7/8=1/8分钟……即小球来回抛动所需的时间间隔构成如下序列:{1/2,1/4,1/8,……1/2^n……},这个序列的极限为0,根据上述方法可以推断出,当时间到达1分钟时,小球从一处抛到另一处所需的时间间隔为:1-1=0。即:当时间到达1分钟时,由于小球从一处运动到另一处的时间间隔为0,所以小球既在A处,又在B处。

下面来介绍一下与抛球悖论结构完全相同的汤姆森灯悖论,这个悖论是说:假设有一个超级触控开关控制着一盏灯的亮和灭,令这盏灯最初是亮着的,过1/2分钟时灭,再过1/4分钟时亮,再过1/8分钟时灭……如此循环往复,问:当时间到达1分钟时,这盏灯是亮的还是灭的?

对于这个问题,是无法给出一个唯一确定的答案的(灯究竟是亮还是灭),人们倾向于认为这个问题是一个不可解的问题。由于该问题与抛球悖论的逻辑结构完全相同,因此笔者用相同的方法给出如下解答:仍然是以灯亮与灭的时间间隔为参数来进行推断:当时间到达1/2分钟时,灯从亮转换为灭的时间间隔为1-1/2=1/2分钟;当时间到达3/4分钟时,灯从灭转换为亮的时间间隔为1-3/4=1/4分钟;当时间到达7/8分钟时,灯从亮转换为灭的时间间隔为1-7/8=1/8分钟……,由此推断,当时间到达1分钟时,灯从一种状态转换成为另一种状态的时间间隔为:1-1=0.所以,当时间为1分钟时,由于灯在两种状态的转换的时间间隔为0,所以灯既是亮的,也是灭的。

但如果说一盏灯既是亮的,又是灭的,这岂不是矛盾的吗?对于这个问题,可以从两个角度来进行理解:

第一:如果从经典物理学的角度来说,任何物体从一种状态运动到另一种状态,都是需要时间的,以抛球悖论为例,小球从一处运动到另一处的时间间隔必然大于0,否则,如果小球从一处运动到另一处的时间间隔等于0,则小球的速度为无穷大,而根据经典物理学的理论,任何物体的运动速度不能超过光速即每秒钟30万公里,所以抛球悖论的错误原因在于前提条件是错误的,从而导致出了错误的推理结果。同样,对于汤姆森灯悖论来说,灯的亮与灭的转换之间的时间间隔必然大于0,如果灯的亮与灭的转换时间间隔等于0,这在经典物理学中是不能实现的。所以,如果从经典物理学的角度来说,汤姆森灯悖论的错误原因也是设定了一个错误的前提条件从而导致了错误的推理结果。

第二:如果我们的思维进入到量子物理学的层面来看待这个问题,却会发现这个问题不再是悖论,而是量子力学中的一个“奇妙”的表现:灯最初亮与灭的转换在宏观上是可以有效观测得到的,随着灯在两种状态的转换时间越来越短,逐渐进入到难以有效观测的微观层面,而随着这种时间间隔越来越短的不断演进,最终时间会进入到一种量子状态,而一旦进入到了量子状态,便会表现出许多与经典物理学完全相异的现象,其中之一便是量子的叠加状态,即此时的灯处于亮与灭的叠加状态。

对于这种量子的叠加状态,最有名的一个思想实验叫做薛定锷猫,它是由奥地利物理学家薛定锷于1935年提出的,实验是这样的:在一个盒子里有一只猫,以及少量放射性物质。之后,有50%的概率放射性物质将会衰变并释放出毒气杀死这只猫,同时有50%的概率放射性物质不会衰变而猫将活下来。根据经典物理学,在盒子里必将发生这两个结果之一,而外部观测者只有打开盒子才能知道里面的结果 。但在量子的世界里,当盒子处于关闭状态,整个系统则一直保持不确定性的波态,即猫在这种封闭的量子世界里处于生与死的叠加状态。这也就是说:只要不打开盒子,猫就始终处于生/死叠加态,只有在打开盒子进行观测时,这种量子的叠加状态便会立即坍缩为唯一确定的结果:猫要么就是死的,要么就是活的。

这种量子的叠加状态最初令许多物理学家困惑不解,然尔这种不可思议的量子状态(俗称薛定锷猫态)近年来不断的在实验室中得到证实(例如著名的电子双缝干涉实验),证明它在量子理论中是正确的。

如果在这种量子力学的思考层面下,我们可以仿照薛定锷猫实验将汤姆森灯实验重新设定如下:假设一盏灯被封闭在一个密闭的黑箱子里(灯的亮与灭是无法观测得到的),在箱子的外部有一个超级触控开关控制着灯的亮与灭,令这盏灯最初是亮着的,过1/2分钟时灭,再过1/4分钟时亮,再过1/8分钟时灭……如此循环往复,问:当时间到达1分钟时,这盏灯是亮的还是灭的?

在时间小于1分钟的任何一个时间段里,我们虽然观测不到灯究竟是亮的还是灭的,但是却可以通过精确的数学计算得知灯究竟是处于哪种状态;当时间到达1分钟时,根据之前的推测,这盏灯在黑箱子中是处于亮与灭的叠加状态,如果同时间(时间等于1分钟时)将这个黑箱子打开进行观测,则这种量子叠加状态会立即坍缩为唯一的确定结果:灯要么就是亮的,要么就是灭的,而这两种状态出现的概率各为50%。