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可以证明Minkowski时空中的虚单位是洛伦兹变换内在逻辑的要求

投稿时间:2016-10-12 16:13 投稿人:邓晓明 【字号: 访问量:

有些文献和教科书对Minkowski时空中的一实一虚的c及ic不加区分,认为i=√-1的存在只是一种数学技巧[1][2],可以随意取舍。我们将简单证明,虚数i=√-1是Minkowski时空中自然存在的,是不能随意舍弃的。我们姑且称c或ic为“时空当量”。考虑一般性,设“时空当量”为任意常数k,对其属于什么数集及具体为何值都不做事先人为约定。可将时间坐标记为X4=kt 或 X*4=kt*      (1)

根据时空的均匀性及正交性假设,可以选取任何一组标准正交基矢eμ或e*ν(μ,ν=1,2,3,4)构成坐标系O或O*来描述物理规律。

1 根据狭义相对性原理

 O系与O*系平权,任意两事件的时空间隔不变Xμeμ=X*νe*ν,其模方为XμXμ=X*νX*ν,如果考虑通用简化条件,即惯性系S*(对应O*系)以匀速v相对S(对应O系)沿X1轴正向运动,两系在t=0,t*=0时坐标原点重合,并采用1+1维形式,则其模方可简化为

(X1)2 +(X4)2=(X*1)2 +(X*4)2        (2)

设坐标变换矩阵为

      (3)

正交条件为

     (4)

考察(3)式,令X*1=0,得

a11X1+ a14X4 =0          (5)

其几何意义为,O*系的时间轴(直线方程)在O系中的表达。参见(1)式,由于点(X1=vt, X4=kt)在该直线上,将其代入(5)式得

va11+k a14 =0        (6)

(4)与(6)两式联立解得

考虑变换不改变坐标的正向,(3)式可写为

  (7)

2 根据光速不变原理  

为了确定“时空当量”k,我们需进一步考察(2)式。如果该两事件刚好是由光信号联接,我们可以分别写出惯性系S及S*立场上的光的波阵面方程:

(X1)2 +(X2)2+(X3)2=(ct)2      (8)

(X*1)2 +(X*2)2+(X*3)2=(ct*)2       (9)

考虑1+1维情形,该波阵面方程可写为:X1=±ct及X*1=±ct*,如果仅考虑光波沿坐标轴的正向传播,则为

X1=ct 及 X*1=ct*        (10)

将(1)及(10)式代入(2)式,整理后得

k2[(t*)2-(t)2]=-c2[(t*)2-(t)2]      (11)

 (11)式是“狭义相对性原理”及“光速不变原理”的一个推论。参见(7)式,如果v≠0,对应的坐标分量不等,即X1≠X*1,X4≠X*4,参照(1)式,则有t≠t*。因(t*)2-(t)2≠0,可将 [(t*)2-(t)2]在等式两边消去得

k2=-c2 或 k=±ic     (12)

如果不考虑时间的反射,取其正向则有k=ic。显然,如果将其代入(7)式就可得到教科书中常见的特殊洛伦兹变换形式。因此说ic是洛伦兹变换内在逻辑所要求的,不能随意取舍。

参考文献

[1] 刘辽等.狭义相对论(70页).科学出版社.2008年7月第2版.2011年4月第2次印刷。

[2] 郑庆璋等.广义相对论基本教程(64页).中山大学出版社.1991年12月第1版第1次印刷。