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瞬时惯性系概念存在的问题探析

投稿时间:2016-09-06 16:16 投稿人:邓晓明 【字号: 访问量:

刘辽老师等在《狭义相对论》[1]中对“瞬时惯性系”的论述代表了现今学界的观点:“如果粒子相对于某一惯性系S做加速运动,而惯性系不能具有加速度,所以瞬时惯性系只是在某一瞬时随着粒子一起运动,在不同时刻的瞬时惯性系不同---这就是“瞬时”的意思。也可以这样理解:在粒子的运动轨迹上存在许多惯性系,其速度等于粒子在某时刻的瞬时速度,分别为 v,v+dv ,...,粒子在不同时刻处于不同的惯性系中。”[1](98页)。

如果设“瞬时惯性系”为 ,其相对于惯性系S 的速度为 u;粒子相对 S及 系的速度分别为 v及 ,由以上论述可知 = 0, v = u 。由传递性可知,所谓“瞬时惯性系”与粒子本身的加速系完全等价,只不过假定在某一瞬时 Δt→0,粒子速度的变化 Δv→0。显然粒子相对 S系的瞬时速度v 不变,是“瞬时惯性系” 得以成立的前提条件。笔者将证明,正统理论的这一核心思想隐含古希腊芝诺(Zeno)飞矢不动悖论。

参见图1-(a),假设飞矢相对坐标系,沿mn弧线作抛物运动。经一瞬间 Δt由m点飞到了n点。其移动的距离用mn弦线近似表达为 Δr = r(t+Δt) - r(t)。因为瞬时Δt可以任意小,极限情况下有 。芝诺飞矢不动悖论的数学解释为:因为 Δt→0 ,所以  Δr→0,即没有位移。体现在悖论思维中,用  Δr→0替换  Δr=0,进而给出位矢 r(t)“瞬时不变”,即为“不动”。如果在m点“不动”,而mn弧线段是由无穷个点构成的集合,飞矢又如何逾越无穷而到达n点呢?

显然位矢 r(t)的矢端代表的是一个纯粹的,没有结构的数学点,而 Δr→0则是一个空间线元“点”,即两个无限接近,以至于“重合”的“点”。同理 Δt→0代表一个时间线元“点”,两者都是无穷小量。由于时空是个连续域,线元“点” Δt→0及 Δr→0不是割裂的,从分析的角度讲,两者同时存在,说明矢函数 r(t)的矢端曲线在定义域内处处连续。不能用在 Δt→0的条件下的 Δr→0来刻画物理量。时空线元“点”Δt→0及 Δr→0之间的关系才是刻画飞矢运动的物理量。如果定义 为速度,则可描述飞矢运动的趋势和能力。

因为在某时刻,飞矢相对坐标系存在瞬时速度 v(t),所以飞矢自然要飞出mn弧线轨迹。唯有 v(t) = 0时,飞矢才相对坐标系不动。极限 不是一个能够有效描述运动,可被定义的物理量。所以说飞矢“不动”,即“位矢 r(t)瞬时不变”是错误的。事实上,位矢 r(t),其模和方向,每时每刻都在连续变化,其矢端描述了飞矢连续的飞行轨迹曲线。这或许就是Cauchy(柯西1789-1857年)当年反驳“飞矢不动”悖论的关键所在。

参见图1-(b),为叙述方便,对 系加角标。与质点随动的加速系 ,相对惯性系 S,从m点沿微小的mn弧线运动到n点,表示为 。从坐标系 这一过程,其姿态在不断地发生变化。现有理论认为,轨迹上处处存在相对惯性系 S“瞬时速度 v(t)不变”的“瞬时惯性系”。笔者将揭示,“瞬时速度 v(t)不变”恰是芝诺飞矢不动悖论的翻版。

参见图1-(c),加速系从 变化到 ,相对惯性系 S的速度分别为 v(t)及 v(t+Δt),速度的改变为 Δv = v(t+Δt) - v(t)。因为 Δt可以任意小,极限情况下有 。在Δt→0 的条件下,由 Δv→0断定,在m点的那一瞬时速度没有变化 Δv = 0。显然这是学界所默认的存在“瞬时速度 v(t)不变”的数学依据。同理,线元“点”Δt→0及 Δv→0也不是割裂的,两者同时存在,说明矢性函数v(t)在定义域内处处连续。时间及速度线元“点” Δt→0 及 Δv→0之间的关系才是刻画粒子运动状态的物理量。如果定义加速度为 ,则可描述粒子的速度变化情况。

不妨按照Cauchy的思路分析,在某时刻,受力质点相对惯性系 S存在瞬时加速度 a(t),自然加速系的速度时时变化,要从 变化到。唯有 a(t) = 0时,质点相对惯性系 S的速度才不变。因为极限 不是一个能够有效描述质点速度状态,可被定义的物理量。所以说“瞬时速度 v(t)不变”是错误的。事实上,当 a(t) ≠ 0时,与受力质点随动的坐标系 相对惯性系 S的速度 v(t),其模和方向,无时不刻都在连续变化。

归纳上述讨论内容,给出下表以便明晰:

最后强调:在 Δt→0时,可被定义并存在极限的物理量才能加上定语“瞬时”被称为:瞬时速度 v(t)及瞬时加速度 a(t)等。在 Δt→0时,不能被定义的思辨 Δr→0及 Δv→0,不能正确描述粒子的运动状态,因而“瞬时速度不变”及以此为前提的“瞬时惯性系”概念是不成立的。

参考文献:

[1]刘辽等.狭义相对论.科学出版社.2008年第二版.2011年第二次印刷.