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探讨罗素悖论中的自属集是否符合逻辑

投稿时间:2014-12-25 16:15 投稿人:李敏 【字号: 访问量:

十九世纪末,德国数学家格奥尔格·康托尔(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp,1845.3.3-1918.1.6)创建了集合论,此后,集合论的基本概念已渗透到数学的所有领域,在现代数学中具有十分深远的影响。更有研究者将集合论视为现代数学的基础。

然尔,人们随后在集合论中发现了一系列的悖论,先是康托尔自己发现的康托尔悖论(又称为“最大基数悖论”),以及布拉里-福尔蒂发现的“最大序数悖论”,这些悖论在当时并没有引起数学界足够的重视。但是英国著名哲学家、数学家罗素提出来了罗素悖论,则将这些矛盾彻底激化,在数学界产生极大的震动。

罗素悖论是这样描述的:设性质P(x)表示“x不属于x”,现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x∉x}”。那么问题是:A属于A是否成立?首先,若A属于A,则A是A的元素,那么A具有性质P,由性质P知A不属于A;其次,若A不属于 A,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以A属于A。

通俗的解释一下就是:将所有的集合分为两类,一类集合具有自身属于其自身的性质(可以将这一类集合称为自属集),另一类集合则具有自身不属于自身的性质(可以将这一类集合称为非自属集),现构造出一个集合A,A的元素是由所有“非自属集”所组成,那么,A属于A吗?如果A属于A,即A是A的元素,由于A的所有元素都具有“自身不属于自身”的性质,所以A不属于A。但是,如果A不属于A,则A具有“自身不属于自身”的性质,那么按照定义A就应该是A的元素,即A属于A。由此构成矛盾。

为了解决罗素悖论,数学家们投入了大量的工作,罗素本人提出了类型论的解决方案,但并没有被数学界普遍接受。数学家策梅洛和弗伦克尔创建了ZF公理集合论系统,被认为是很好的解决了集合论中的各种悖论。但ZF公理系统实质上是对集合作出了一系列的限制,使得那些能够引发矛盾的集合不能在其ZF公理系统中出现,这实质上是回避了悖论而不是从根源上解决悖论。 那么,产生罗素悖论的根本原因究竟在哪里呢?在此,笔者根据多年来对罗素悖论的研究,发表一些粗浅的见解,供对此类悖论感兴趣的专家和学者们略作一些参考。

笔者认为,产生罗素悖论矛盾的根源在于:罗素悖论中的“自属集”本身就是不符合逻辑的。

先解释一下什么叫做“自属集”:所谓的“自属集”也就是说:某一个集合的自身又是该集合自身中的一个元素。举例来说:设“所有苹果的集合”为P,由于P本身不是一个苹果,所以P不是P的元素,所以P是“非自属集”;

设“所有非苹果的集合”为F,由于F本身不是一个苹果,所以按照F的定义,F本身就应该是F的元素。所以F就是“自属集”。再举一个例子:设“包含所有集合的集合”为J,由于集合J本身也是一个集合,所以按照定义J也是J中的一个元素,所以J是“自属集”。

笔者认为,所谓的“自属集”本身就是不符合逻辑的,为了更好的说明这个问题,仍然是举一些非常简单的例子来进行说明:

例如:“能够装下所有苹果的袋子”、“能够装下所有衣服的袋子”、“能够装下所有食品的袋子”……这些虽然都是不符合实际的,但并不会引起逻辑上的矛盾,然尔,“能够装下所有袋子的袋子”却会引发矛盾,因为,由于其自身也是一个袋子,所以它也要自己装下自己,而一个袋子能够自己将自己装下,这是明显违反逻辑的。

再举例来说:假设一条鱼能够吃掉所有的虾,这并不会引发什么逻辑上的矛盾,但如果假设:一条鱼能够吃掉所有的鱼,则会引发矛盾,因为其自身也是一条鱼,所以它也要自己吃掉自己,这是明显违反逻辑的。

这就正如:一个大力士能够举起超过自身体重很多倍的重物,却不能够自己将自己举起来。

根据如上所举的例子,那些所谓的“自属集”,例如“所有集合的集合”等,就正如“能够自己装下自己的袋子”一样,是不符合逻辑的,即,任何集合都不能自身属于自身,因此问一个集合是不是属于自身的,其本身就是没有意义的。

如果任何集合都是不能自身属于自身的,则罗素悖论的前提条件便是错误的,既然前提条件错误,则谈不上什么悖论可言。

以上是笔者对于罗素悖论的一点粗浅见解,请大家批评指正。