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对于欧拉乘积公式证明的质疑

投稿时间:2014-06-16 14:36 投稿人:倪则均 【字号: 访问量:

1、全体自然数倒数的平方和。

大约从十七世纪开始,西方的数学家们终于打破了对于无穷的禁忌,逐渐应用无穷级数作为表示数量的工具,同时研究各种无穷级数的求和问题。1673年莱布尼茨去巴黎办事,顺便帮助惠更斯证明了 ,由此不仅导致了他与牛顿一起发明了微积分,而且还一并给出了下面二个无穷级数的和:

前一个公式,我国元初时期的朱世杰,在他的《四元玉鉴》(1303年)一书中就已经给出。后一个公式,则是通过他的变换规则的方法所得到,显然这样的表示有些不妥,因为不管多少个有理数的和差,必定仍然为有理数,决不可能得到的是无理数,更不可能得到的是超越数。然而,那时真正困扰着莱布尼茨的却是调和级数的问题。

雅各布·伯努利严格证明了调和级数的发散性,即全体自然数的倒数之和为无穷大,但是雅各布·伯努利却被全体自然数倒数的平方和所困扰着。此后的欧拉应该是受到了莱布尼茨上述不妥的影响,于1735年先后给出了: 。对于上述ζ(s)符号来说,当s为大于1的整数时,称为欧拉函数,当s为复数时,则称为黎曼函数。徐利治和郑毓信所写的《关系映射反演原则及应用》,对于ζ(2)的推导作了如下的介绍:

“由于 于是sinx便可以看成是一个无限次的代数多项式。欧拉把它和代数多项式因子分解定理作比较,便联想到sinx也应该能表示成因子连乘积。因为sinx=0有无穷多个根:x=0,±π,±2π,±3π,……,所以sinx应表示成无穷多个因子乘积。于是通过联想和类比,欧拉便发现sinx可以分解成下列因子连乘积:

这便是著名的欧拉公式。这个公式利用数学分析方法,可以获得严格的证明,特别有趣的是,如果把上式右端展开,可以看出x3的系数是:

约翰·伯努利听到欧拉的成功消息后极为兴奋地说:“要是我哥哥活着,这将使他最热望的心愿得以满足”。后来这个约翰·伯努利也给出了一个证明,实际上同的欧拉方法一样,都是把多项式根与系数的关系推广到幂级数,严格来讲,这种方法是不能用的,然而,那时的数学家们,似乎对于这样的错误并不介意。

华罗庚在他的《从杨辉三角谈起》小册子的最后,给出了对于全体自然数倒数的平方和的逼近方法,说明全体自然数倒数的平方和会无限的逼近π2/6,但是决不可能就是π2/6。文中通过四步论述了他的逼近方法,其中的第四步可以不断的实施,不断的提高它的准确度。

2、欧拉乘积公式的问题。

1737年,也就是在欧拉给出上述两个欧拉函数值的第二年,他又给出了一个更让大家吃惊的东西: ,这个东西有的书上称它为欧拉乘积公式,有的书上称它为欧拉恒等式。一般来说,数学上的公式必须通过推导演算予以验证,数学上的定理则必须通过十分严密的论述予以证实。让人觉得惊讶的是,欧拉对于它的这个乘积公式,不仅没有推导演算的验证,而且也缺乏十分严密的论述证明,他仅仅只给出了一个如同悖论一般极其简短的说明。

卢昌海写了一本名为《黎曼猜想漫谈》的数学科普著作,王元特意为其写了一篇名为读后感的代序,称赞文章关于数学的阐述是严谨的,数学概念是清晰的。文字流畅,并间夹了一些流传的故事,以增加趣味性与可读性,从这几方面来看,都是一篇很好的雅俗共赏的数学普及文章。卢昌海特意在他的附录A里,介绍了欧拉乘积公式的问题。卢昌海说:欧拉乘积公式的证明十分简单,唯一要注意的就是对无穷级数与无穷乘积,不能随意套用有限求和与有限乘积的性质。然而,无限求和与无限乘积又会具有一些什么样的性质,他们与有限求和及有限乘积又会有些什么样的不同。

笔者认为无限的范围远比有限的范围庞大得多,其中的情况也更为复杂。有限范围里的数,我们可以运用大小予以区分,无限范围里的数,我们不能运用大小予以区分,不知是否可以运用等级的概念予以区分。何华灿出版发行了一本名为《统一无穷理论》的书,似乎他对于无限问题,并没有从数学的角度真正的予以深入研究。在我国的《庄子》一书上,对于无穷问题已经有了明确的记载:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这个无穷级数的极限为1。上面莱布尼茨在巴黎所证明的那个无穷级数的极限也为1,但是,这是两个完全不同的无穷级数,因为它们逼近极限1的速度是完全不同的,因此 。类似的情况可以写出许多。

现在几乎所有的数学书上,全都认为欧拉的证明是毋庸置疑的,因为根据算术基本定理,每一个自然数都具有唯一的素数分解形式。其实,上述欧拉乘积公式的左边,表示的是全体自然数倒数的s次方之和,这是由于自然数是一个公差为1的等差级数,十分规律,可以如此予以表示。然而,右边的全体素数的s次方之积,就不能这样予以表示了。因为素数的分布很不规律,两个素数的间距可以小到只有2,也可以大至无限。

如果全体素数的数量为k个,用pk表示其中最大的那个素数,那么在pk和pk2之间,必定还会存在着许多个大于pk的素数。因此,欧拉乘积公式右边的全体素数的s次方之积,根本就无法予以如此表示,所以上述欧拉乘积公式根本就不能成立,因为你根本就不能说,全体素数的数量只有多少个这句话。

3、素数定理的问题。

1859年,高斯的学生黎曼,发表了他唯一的一篇数论文章。此篇名为“论给定量以内的素数数目”的文章极其简略,全文总共只有八页,给出了ζ(s)欧拉函数,当s为复数时的情况。最初大家都觉得此文疏漏很大,然而,不久许多人都转变了看法,认为此文可以解决素数定理的误差问题。为了填补黎曼的漏洞,法国科学院于1890年设立了名为“决定一定界内素数个数”的大奖。只有李特尔伍德始终认为,所谓的黎曼猜想完全都是错的。

素数定理:π(x)~x/logx,是近代数学里的一个最最充满疑问的定理。15岁时的高斯曾经猜想过,小于x的素数的个数π(x),或许与x的对数积分Li(x)渐近相等,由于Li(x)~x/logx,所以π(x)~x/logx。其实,高斯的许多数学思想未必都是对的,例如他对于非几何的态度,不仅是错的,而且还涉及到了他的人格问题。对于我这个民间的数学爱好者来说,就已经发现了他的表一个数为二平方和的表数公式根本就是错的。那么他少年时的一个不切实际的胡思乱想,能正确吗?

1896年,阿达马和瓦莱—布桑都是依据了ζ(1+it)≠0,同时分别证明了当N→∞时,π(N)logN/N的极限为1。于是有人称他们是证明了素数定理,给出了素数的分布规律。其实,他们所证明的东西与素数的分布根本就毫无关系,他们只是证明了在无限大的情况下,素数的数量与自然数数量的比几乎为零而已。

英国解析数论大师哈代于1921年,在哥本哈根数学会上,对于素数定理的证明曾说:“断言一个定理肯定不能用某种方法证明是轻率的,……,如果谁给出了素数定理的初等证明,那他就证明了(我们现在关于数论、解析函数论中何谓深刻,何谓肤浅的)见解是错误的,……从而到了该丢掉一些著作来重写理论的时候了。”

然而,就在哈代说出此话的第二十八年,挪威美籍数学家赛尔伯格与匈牙利数学家爱尔特希,双双同时运用初等方法,也分别独立证明了这个素数定理。