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《孙子算经》与“孙子定理”的问题

投稿时间:2014-02-06 14:16 投稿人:倪则均 【字号: 访问量:

1、《孙子算经》的作者。

根据《隋书·经籍志》的著录,那时的《孙子算经》只有上下二卷。随后的《张邱建算经序》有云:“其夏侯阳之‘方厄’,孙子之‘荡杯’”,而传本《夏侯阳算经序》又云:“五曹,孙子述作滋多”。由此可见,《孙子算经》是隋代以前的数学专著,并且比《张邱建算经》和《夏侯阳算经》更早面世。因此,清初的朱彝尊在其《孙子算经跋》里,认为《孙子算经》的作者,应该就是《孙子兵法》的作者孙武。

其实,我们只要根据《孙子算经》的主要内容,即可断定此书必定也是孙武的著作。“筹算”是《孙子算经》里的一项重要内容,算筹是我国上古时代的唯一的运算工具,那时能够运用这种运算工具的人不多,精通“筹算”方法的人更少。《列子》“说符”篇记载说:“卫人有善数者,临死,以诀喻其子。”由此可见,掌握这种运筹算法的人,直到临死才肯传给其子。然而,孙武在他的《孙子算经》里,却将所有的“筹算”方法全部予以公开,由此推动了我国古代数学的飞跃发展。

我们现在所看到的《孙子算经》则有上中下三卷,其下卷载有“户输绵二斤八两”之户调法,还编有“棋局十九道”之题。由于户调制乃晋武帝时开始实行沿用至唐,三国时吴国邯郸淳的《艺经》尚称围棋十七道,由此可见,流传至今的《孙子算经》,在隋代以后,就有几个多事之人对其作过一些增补,充实了一些新的内容。

乾隆年间的戴震在参与编撰《四库全书》时,仅仅根据《孙子算经》上载有“今有长安洛阳相去九百里”,“今有佛书凡二十九章”,就断定《孙子算经》决非孙武所著,因为“长安”是汉初才有的地名;而“佛书”一词则产生于东汉。这就是乾嘉学派所掀起的那股“吹毛求疵”的歪风,这股歪风硬是将《周髀算经》从西周刮到了西汉,将《九章算术》从东周刮到了东汉,更是将战国初期的《孙子算经》,一直刮到了更晚的南北朝时期。

其实,戴震对于我们的中国数学,也仅仅只是一个一知半解的门外汉,他在《四库全书提要》里,评价秦九韶的大衍求一术时说:“其法虽不尽精密,而大衍数中所载立天元一法,为郭守敬、李冶所本。欧罗巴之借根方,至为巧妙,亦从此出也。”混淆了求一术与天元术中的“天元一”的区别,竟然闹出了如此笑话。

如果按照戴震的观点,只要有人对于孙武的《孙子算经》作过增补,增补过的《孙子算经》的作者就不再是孙武了。那么,传至今天的《几何原本》,就更不是公元前三世纪欧几里得的著作了。因为史载埃及女数学家希帕蒂娅,曾经协助其父完成了对于《几何原本》的第一次修订。以后的《几何原本》又长期流失在外,长达上千年之久。今天我们所看到的《几何原本》,实际上是伊斯兰大学的一本教科书,不知经过了多少人的修改及增补。现在有些人不是热中于什么都要与国际接轨吗?那么在判断一部古籍的成书年代问题上,为什么却不与国际接轨了呢?怎么可以另搞一套标准呢?

2、“物不知数”问题。

“物不知数”问题是《孙子算经》下卷里的第二十六题,此题为:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”答曰:“二十三”。术曰:“三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十。并之,得二百三十三。以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五。一百六以上,以一百五减之,即得。”

术文的前半段给出了本题的解法为:N=70×2+21×3+15×2-105=23。而术文的后半段,则给出了这类一次同余式组:N≡R1(mod 3)≡R2(mod 5)≡R3(mod 7)的一般解法为:N=70R1+21R2+15R3-105P(P为正整数),这是因为1≡70(mod 3)≡21(mod 5)≡15(mod 7)。由此可见,现代数学里的同余式组的问题,对于中国数学来说,却是一个十分古老的问题。由于这个“物不知数”问题可以直接称为孙子问题,所以上述术文则可以称为“孙子算法”。这个“孙子算法”,北宋的周密称之为“鬼谷算”,“隔墙算”;南宋的杨辉称之为“秦王暗点兵”,“剪管术”;明代的程大位称之为“物不知总”,“韩信点兵”。

或许有人要问,这道“物不知数”问题,到底是孙武的原作?还是后来多事之人的伪作?这个问题很难予以解答。笔者认为只有曾经当过吴国将军的孙武,才有可能提出这个与行军布阵密切相关的数学问题。我国春秋战国时期的道家著名人物,他们往往既是一个军事家,同时也是一个数学家,例如“田忌赛马”的故事。其实,孙武的《孙子兵法》,实际上也是一部运筹学著作。

根据我国的商代已经在使用完善的六十干支记日法,可知我国早在商代之前已经掌握了,运用“更相减损术”求取最大公约数和最小公倍数的方法,说明那时的孙武完全具备了提出“物不知数”问题的数学背景。然而,我国古代历法的编制,从汉初开始出现了,必须首先根据“孙子算法”推算出“上元积年”的怪事,从而将我国对于合数环的研究,引上了一条歪路。

其实,对于一个合数环Hef来说,只要e与f互素,那么这个合数环里的ef个元素,与由He分环和Hf分环所构成的ef个同余式组之间,完全是一一等同的。Hef合数环里的种种特性规律,原本都是He分环和Hf分环的特性规律,通过这ef个同余式组传递过来的。反过来说,只要Hef合数环具有某种特性规律,那么它的各个分环也必定会具有这些特性规律,这是我们今天需要认真研究的问题,Hef合数环的内部结构则是又一重要内容。

3、“孙子定理”的问题。

《孙子算经》里的“孙子算法”,是解开各个模数全都两两互素,并且其模数的素因子的方次也全都低于2的同余式组的方法,由此可见,“孙子算法”对于模数的限制是极其严格的。然而,若是对于同余式组的模数如果不作上述种种限制,让它们可以不必全都两两互素,并且其模数的素因子的方次也不必全都低于2的同余式组的解法,则称为完整的“孙子算法”,或干脆称之为“孙子定理”。

笔者认为祖冲之在他的“大明历”里,已经将孙武的“孙子算法”发展成了一个完整的“孙子定理”。祖冲之是根据以下八个同余式组,来推算他的“大明历”里的“上元积年”的。显然,在这八个同余式组里,前七个同余式的模数具有最大公约数2,后二个同余式的模数具有最大公约数3。

由此解得上元积日为n=18969595日,换算成上元积月和积年则为:642371月和51937年。我国古代的历法认为,年始于冬至,月始于朔旦,日始于夜半,甲子日夜半朔旦冬至,……,以此作为历法中节气,朔望,日月食和五星的共同起身点,是为上元。从上元到治历的岁数,称为“上元积年”。史载在“大明历”问题上,祖冲之与权臣戴法兴之间曾发生过一场论战,看来真理应该是在戴法兴一边,因为那时首先推算“上元积年”的荒谬浪潮已在消退。

如果只是从数学的角度上去看,祖冲之的“大明历”确实发展了孙武的“孙子算法”。然而,若是从历法的角度来看,祖冲之的“大明历”对于“上元积年”的推算,可谓搞得变本加利的荒谬。其他人对于“上元积年”的推算,只是除了日月之外再加上一个木星而已,然而祖冲之却硬是要将金木水火土也一齐都加了进去。

南宋的秦九韶不仅将这个完整的“孙子算法”从历法之中分离了出来,而且还给出了迅速计算乘法逆元的“大衍求一术”。秦九韶对这个“大衍求一术”十分得意,放在了他的《数书九章》的首要位置。这个完整的“孙子算法”于1852年,由英国传教士伟烈亚力传到欧洲,被称为“中国剩余定理”。