• 汇集公众科学智慧交流科学思想见解
  • 点燃科学智慧火花构建互动交流平台
科学智慧火花
发表评论  8                

探索表素数为四平方和问题

投稿时间:2014-01-23 15:32 投稿人:倪则均 【字号: 访问量:

1、费马对于三类奇素数的划分。

费马首先将全体奇素数,分成了4n+1和4n-1两大类型,并且发现所有的4n+1形素数,都可以唯一的表示为二个数的平方和,所有的4n+3形素数却不能。随后费马又将所有的4n+3形素数,进一步分为8n+3和6n+1两种类型。同时也进一步发现,所有的8n+3形素数,都可以表示为2x2+y2形式的三个数的平方和。所有的6n+1形素数,则可以表示为3x2+y2形状的四个数的平方和。

费马对于三类奇素数的上述划分,如果仅仅从它们的表达形式,和分拆方式上来看,似乎问题不大,然而,若要再进一步考究造成此类现象的原因,好象问题还是不少。尽管费马知道所有的4n+1形素数,都可以唯一的表示为二个数的平方和,他说他运用了自己所独创的“无穷递降法”,不仅彻底的解决了其中的存在性和唯一性问题,而且还一并找到了解决这些问题的具体的算法,遗憾的是大家一直没有找到他的那个“无穷递降法”。

那时的费马根本不可能完全知道,这类4n+1形素数的来历的。因为这类4n+1形素数,尽管主要来自于2u+1(u为偶数)形数的常规分解,但是其中还是有一部分,是来自于2v±1(v为奇数)形数的同周期分解的。由于2在2u+1(u为偶数)形数里的周期为2u,因此2在其素因子里的周期都是双偶数,这是2u+1(u为偶数)形数的素因子,全部都是4n+1形素数的根本原因。

为什么2v±1(v为奇数)形数的同周期分解,它们的素因子之中必定也会出现4n+1形素数?其实原因也很简单,因为如果没有4n+1形素数,那么这样的同周期分解,就无法予以还原。由于同周期的分解问题,是笔者不久之前的新发现,因此今天也几乎无人知道同周期分解问题,所以我们不能强求费马也要知道同周期分解问题。当然,如果不知道2v±1(v为奇数)形数的同周期分解,也会出现4n+1形素数,那么对于4n+1形素数的认识就是不完整的。

费马认识到所谓的4n-1形素数,其实并非是一种类型的素数,它实际上是由8n+3形素数,和6n+1形素数二种素数所组成。其中的8n+3形素数,是2w+1(w为奇数)形数的素因子,它们可以分拆为2x2+y2形式的三个数的平方和。而其中的6n+1形素数,则是2w-1(w为奇数)形数的素因子,它们可以分拆为3x2+y2形式的四个数的平方和。但是,费马没有认识到这两种类型的素数,同样仍然具有存在性、唯一性、可算性等种种特性规律。

2、第三种类型奇素数的分拆。

费马对于第三种类型奇素数的认识,是十分肤浅和极不完整的。费马没有认识到2w-1(w为奇数)形数的同周期分解,除了会出现4n+1形素数之外,还会出现一种4n+3形素数,它们是不能转变为6n+1形素数的。而且,它们是只能分拆为2x2+w(w为4n+1形素数)形式的,不能分拆为3x2+y2形式。例如,211-1=23×89,223-1=47×178481,其中的23和47都不是6n+1形素数,23只能分拆为23=2×32+5=32+32+22+12,47只能分拆为47=2×32+29=32+32+22+52

其实,费马的6n+1形素数,也是可以分拆为2x2+w(w为4n+1形素数,或若干个4n+1形素数的积)形式的,只是在将w分拆为二个数的平方之和的时候,其中必定有一个平方数也为x2而已。例如,25-1=31=2×32+13=2×32+32+22=3×32+22。再如,229-1=233×2304167,由于其中的233属于6n+1形素数,因此233=2×32+5×41=2×32+32+142=2×32+62+132

为什么一个4n+3形素数,只能分拆为2x2+w(w为4n+1形素数)形式?因为在4n+3形素数里,由于2是一个二次剩余,因此2x2也是一个二次剩余,从而使得w是一个4n+1形的非二次剩余。再根据高斯的二次互反律,可以知道w还必定是一个4n+1形素数。那么,为什么一个6n+1形素数,却可以分拆为3x2+y2形式?因为在6n+1形素数里,由于3是一个非二次剩余,因此3x2也是一个非二次剩余,从而使得y2=6n+1-3x2必定是一个二次剩余。

1743年,欧拉首先发现了下面四个数平方和之间的恒等关系,然而他自己却未能证明四平方和定理。1770年,拉格朗日错误的运用了这个恒等关系,错误的证明了每个正整数都能表示成为四个整数的平方和的问题。其实,欧拉自己对于表素数为二平方和的证明也是错的,这个错误的证明却被高斯大为赞赏。

(x12+x22+x32+x42)(y12+y22+y32+y42)=A2+B2+C2+D2

其中A=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,B=x1y2-x2y1-x3y4+x4y3,C=x1y3+x2y4-x3y1-x4y2

D=x1y4-x2y3+x3y2-x4y1

如果将4n+3形素数和6n+1形素数,统一的表示为p=2k+1(k为4n-1形素数)形素数,则有2x2+y2+z2=mp。其实,对于上述四平方和恒等式来说,如果x1=x2,y1=y2,则有C=D。这就是说,对于这个四平方和恒等式来说,若是其中有两个数相等,那么这样的恒等关系仍然成立。由于在Hmp合数环里具有mp=2x2+y2+z2规律,因此在其Hm分数环和Hp分数环里,就必定同样具有p=2x02+y02+z02或m=2x02+y02+z02规律。

3、拉格朗日的四平方和定理。

我在“探究表一数为四平方和问题”一文中尚未认识到,拉格朗日对于四平方和定理的证明根本就是错的,当时只是觉得他的证明实在太晦涩难懂了,似乎许多地方都没有交代清楚。我总觉得对于这个定理的证明,应该首先证明表素数为二平方和,三平方和以及四平方和的问题,撇开这三个问题的证明,就直接证明表一数为四平方和问题,是十分困难的。

由于“表素数为二平方和的唯一性问题”的退稿,让我总算在网上买到了一本冯克勤的《平方和》,粗读冯克勤的《平方和》,就立即发现在二平方和问题上:陈景润和欧拉对于其存在性的证明完全不同;王元和高斯对于其唯一性的证明则完全一致;只是大家全都没有给出如何得到这二个平方数的方法。冯克勤的《平方和》还让我知道了:高斯完全是为了证明三平方和问题,才搞出了他的那套二次型理论的。

细读冯克勤的《平方和》,则发现所谓的“费马的无穷递降法”根本就是错的,因此欧拉对于二平方和的证明,以及拉格朗日对于四平方和的证明也都是错的。由此也让我得到了表素数为二平方和、三平方和、四平方和,最简洁明了的证明方法。长期以来我一直在思考,为什么我们今天的纯粹数学会变得如此的晦涩难懂?现在我似乎已在冯克勤的《平方和》里找到了解答。

我发表在“微科普网”上的“欧拉对于二平方和的证明”,则是我对于退稿意见的驳斥。我在这篇文章里,首先给出了二平方和,三平方和以及四平方和的恒等关系,这是合数环与其两个分环之间的一种比较独特的关系。只要这两个分环的模数是互素的,那么这个合数环的种种特性规律,都是由这两个分环传递给它的。反过来也就是说,只要这个合数环具有某种特性规律,那么这两个分环也必定会具有这种特性规律的。