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抛球悖论的逻辑分析

投稿时间:2014-01-11 11:05 投稿人:李敏 【字号: 访问量:

北京大学吴国盛教授于1992年第12期的《哲学动态》上发表了一篇介绍芝诺悖论的论文,名为《芝诺悖论今昔谈》,在文章中特别介绍了抛球悖论。这个悖论是根据芝诺悖论中的二分法悖论强化引申出来的。二分法悖论是说:物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半,这个要求可以无限的进行下去,所以,如果它起动了,它永远到不了终点,或者,它根本起动不了。

长期以来,哲学家们大多是对这个悖论不屑一顾,认为是无聊的诡辩,直到近代随着数学理论的逐步丰富和发展,芝诺悖论才慢慢的被数学家所重视。自十九世纪以来,数学家通过无穷级数求和的方法计算出来无穷级数的和是一个有限值而不是无限,即:1/2+1/4+1/8+……+1/2^n+……=1,也就是说物体运动经过这些无限多的步骤并不需要无限长的时间,而是在有限的时间里完成的,由此认为芝诺二分法悖论已被彻底破解。

但是执着的哲学家们对于这样的解答方案显然并不满意,哲学家布莱克首先根据这种无穷级数求和的方法设计出来了无限抛球悖论,这个悖论的内容为:令一小球从A处开始向B处抛动,小球从A处抛到B处时所用的时间为二分之一分钟,从B处抛回A处所用的时间为四分之一分钟,依此类推,来回抛球时间依次是:1/2,1/4,1/8……1/2^n……到第n次时所花全部时间是:

T=1/2+1/4+1/8+……+1/2^n+……=1-1/2^n

可是问题出现了,人们发现无法确定小球最终落在何处。从上式看,当n取奇数时,落在b处,取偶数时落在a处,可是小球越抛越快,只有在经过无限次之后才会到达1分钟 ,但一个无限数是没有奇偶之分的,因此,搞不清1分钟的时候小球处在什么位置。

其实,早在1983年第3期的《数学研究与评论》上,便同期发表了两篇辩论抛球悖论的文章,一篇是张义杰所写的《抛球悖论,何悖之有》,另一篇是袁相碗(原南京大学教授)所写的《答“抛球悖论,何悖之有”一文》。张义杰认为:小球的运动时间范围为半开时段[0,1),在此半开时段的任意时刻,小球都有确定的位置,而1分钟虽然是这个半开时段的极限点,却根本不在这个半开时段之内,即1 不属于[0,1),当然不能问此刻小球在何处,因此,正确的提问,则无悖无谬。

而袁相碗教授则指出:张义杰所论是立足于潜无限的观点来分析问题的,因为潜无限论者不承认任何无穷的过程能进行完毕,只承认可以无限的进行下去,从而抛球手续只能是在无限制的往复进程之中,从而对此问题可以避而不答,也就无悖可言。但实无限论者是承认无限过程可以完成的,所以回避不了这个问题,却又无法回答这个问题,所以更加坚定了其悖之有了。

张袁二人的论辩最终不了了之,没有达成一致的共识,自此之后,学界对于抛球悖论的讨论很少见诸报端,抛球悖论便成为了一个至今都没有解决的谜题,吴国盛教授在他的论文中引用抛球悖论,也是旨在说明芝诺的四个运动悖论并没有被完全解决。

那么,抛球悖论究竟有没有令人信服的解决方案呢?笔者就此发表一些疏浅的观点供对此感兴趣的学者们略做一些参考:

从前面介绍的内容来看,传统的数学解决思路主要是从两个方面来考虑的:第一是无限数没有奇偶之分,所以不知道球的位置究竟在哪里,第二是球的运动时段范围是[0,1)区间,1不在其定义范围之内,所以同样不能得知球的确切位置。而这两种思路全都陷入于死胡同无法解决问题。

那么,我们不妨抛弃这两种思路,换另外的一个思路,寻找一种新方法来进行解答。这个思路就是以抛球的时间间隔为参数来进行推断,也就是说,我们可以用数学方法计算出小球从一处抛到另一处所需的时间间隔究竟是多少。在小球的运动时间段里,小球从一处抛到另一处的时间节点分别是:1/2,3/4,7/8,15/16……,可以计算出来:当时间到达1/2分钟时,小球从一处抛到另一处的时间间隔为1-1/2=1/2分钟;当时间到达3/4分钟时,小球从一处抛到另一处的时间间隔为1-3/4=1/4分钟;当时间到达1/8分钟时,小球从一处抛到另一处的时间间隔为1-7/8=1/8分钟……即小球来回抛动所需的时间间隔构成如下序列:{1/2,1/4,1/8,……1/2^n……},这个序列的极限为0,根据上述方法可以推断出,当时间到达1分钟时,小球从一处抛到另一处所需的时间间隔为:1-1=0。

做出了上述的推论结果后,虽然当时间到达1分钟的时候,我们仍然不知道小球究竟是在A处还是在B处,但却可以由此推论:假设此时小球是在A处,由于此时小球从一处抛到另一处所需的时间间隔为0,所以它同时也在B处;如果假设此时小球是在B处,则可同样推论出小球在同一时间也在A处,即当时间到达一分钟时,小球既在A处又在B处。

推论出上述结果之后,大家肯定会认为这个结果是十分荒谬的,不合理的,因为在同一个时刻,物体肯定不能同时既在A处,又在B处,同时拥有两个完全不同的位置,但我们可以分析出来,为什么最终会得出这种看起来十分荒谬的结果来?

之所以会得出这种不合理的结论,是因为这个悖论的前提条件本身便是不合理的,违反了物理的基本定律。

从悖论的前提条件来看,随着小球在两处抛动的时间间隔无限缩短,小球的速度将会无限增大,当时间到达1分钟时,小球的速度为无穷大,从一处抛到另外一处所需的时间间隔为0,即小球到达任意远的距离都不需要时间。而根据物理定律,速度的极限为每秒钟30万公里,即光速。任何物体的速度都不能超过这个极限。而在抛球悖论中,小球在仅经过数十次的往复之后其速度便会超过光速,并且还在无限的加速。因此抛球悖论在物理现实条件下,它的解答是无意义的,我们之所以对这个推论结果感到十分的荒谬(球在同一时间同时处于两个地点),其原因就在于它违反了物理的基本定律。

而如果我们在不考虑物理现实的情况下,仅将此悖论视为纯粹的数学与思想实验,即假设物体的速度是没有任何限制的,则根据题设条件,当1分钟时,小球的速度将达到无穷大,从一处运动到另一处不需要时间,即可以同时既在A处又在B处。因为它仅是一个不考虑物理条件的纯粹的数学或思想实验,所以得出这种结论也就谈不上荒谬可言了。

所以,对于抛球悖论而言,如果将其视为纯粹的数学游戏或思想实验,则不能再适用于常规的逻辑体系。在此需要说明的是:虽然抛球悖论是由二分法悖论变形引申而来,但与二分法悖论不同的是:二分法悖论并没有违反基本的物理定律,即其运动速度不会无限制的增大,所以二分法悖论同样适用于常规的逻辑体系,不能违反最基本的逻辑规律。