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高次纵横图与自然数等幂和

投稿时间:2013-11-22 08:03 投稿人:倪则均 【字号: 访问量:

1、高次纵横图的提出。

如果一个n阶纵横图,其每一个数的k次幂仍是一个纵横图,那么将这样的纵横图称为n阶k次纵横图,当k>1时,即称其为高次纵横图。其实,不管是低次纵横图还是高次纵横图,乃至其它各种类型的纵横图,它们最初都是作为数字游戏硬凑出来的。由于现在可以运用计算机去硬凑,所以现在各种类型的纵横图极其丰富多彩。

据说2次纵横图是弗洛劳夫(Frolow)在1892年首先发现,立即引起了许多数学家的注意。随后的赖利(Rilly)则花了九年时间,不仅给出了200多个此类二次纵横图,并且还证明了,这样的二次纵横图决不会低于八阶。然而,赖利似乎并未证明,所有的二次纵横图,必定同时也是偶数阶的传统纵横图,也就是它们全都具有这样的双重特性。

现在有人在二次纵横图的基础上,又进一步发展出了三次纵横图。原先认为三次纵横图的阶数不可能低于64,但是后来有人陆续做出了32、16阶的三次纵横图。德国人特鲁姆泼(Trump)于2002年,首先做出了一个12阶的三次纵横图。几乎同时,我国的高治源和潘凤雏于2003年2月,一下子就拿出了二个12阶的三次纵横图。这些三次纵横图全都具有三重特性,它们既是一个三次纵横图,又是一个二次纵横图,同时也是一个一次偶数阶的传统型纵横图。

如果n阶r次纵横图存在,那么,它是不是都会具有上述这样的r重特性?其最小的阶数又会是一个什么样的数?特别是其每一行的n个数,是不是都是由n/2个和为n2+1的组对数所构成?它们的列是不是全部都是两两对应,相互两两结成n个和为n2+1的数对?对于这些问题,只能通过自然数的等幂和予以解答。因此,高次纵横图的出现,实际上反映了以往大家对于自然数的等幂和的研究,实在太肤浅了,迫使我们不得不重新给予更为深入的研究。

2、从杨辉的垛积术到朱世杰的逐差法。

如果说杨辉的纵横图,是对于中国纵横图的杰出贡献,那么杨辉的垛积术,则完全是他的独立创造。有人说杨辉的垛积术,是对于沈括隙积术的发展,这是不对的,因为垛积术与隙积术,是性质完全不同的二类数学问题,根本不能将它们混为一谈。沈括的隙积术,是一个将离散问题,转化为连续问题去予以解决的数学。

杨辉的垛积术,则是一个反复离散的问题,由此引发出了差分的问题,差分具有与微分相类似的性质。杨辉将自然数的平方和称为四隅垛,他将其分拆成一个1阶等差级数,和二个2阶等差级数分别进行计算,给出了下面的四隅垛计算公式。我国宋末元初时期的朱世杰,发展了杨辉的垛积术,他将自然数的三次方之和分拆成一个等差级数,六个2阶等差级数,六个3阶等差级数分别进行计算。

朱世杰的这个公式,是运用了他所首创的“逐差法”而得到。微积分的创始人莱布尼茨,则比朱世杰晚了三百多年,也推导出了这个公式。莱布尼茨是西方数学家里少有的正人君子,如果他的这个公式是抄袭了别人,他不会不予以说明。其实,朱世杰的“逐差法”,实际上已经解决了自然数的任意次等幂之和的问题。

“逐差法”的实质内容,是如何将nk拆分为上面n的k次多项式,其中的系数a r(r=0,1,2,…,k),则是nk的各阶差分的首项数,因此这些系数都是一些正负交错的多项式。其中的组合符号 ,则是一个n项的r阶等差级数的和,也是一个r+1阶等差级数的第n项数,即最后一项数。

其实,对于我国古代的“周易三角”——二项式(1+1)n的展开式来说,当n是奇数时,其 的右上角数列,是一个标准的(n-1)/2阶等差数列。其 的右上角数列,是一个标准的(n-3)/2阶等差数列。……其 的右上角数列,是一个标准的2阶等差数列。其 的右上角数列,是一个标准的1阶等差数列。所谓标准等差数列,是指公差为1的1阶等差数列。当n是偶数时,具有完全类似的规律。

3、李善兰数列与欧拉数列。

根据朱世杰的“逐差法”,应该不难给出全体自然数,k次幂和的统一的计算公式。或许朱世杰当时认为,没有必要再作进一步的汇总,或许朱世杰当时没有找到,恰当的表达方式,因此这个统一的计算公式直到道光年间,才由清代著名数学大师李善兰给出如下:

对于这个递归数列,李善兰还具体给出了一个,被称为“乘方垛各廉表”的递归数表。此表运用Lm k的上标m=0,1,2,…表示m乘方垛的乘方次数,即横行序数;下标k=0,1,2,…,m为项数。李善兰的“乘方垛各廉表”,具有以下三个重要特性:第一是边界性,即有L0 0=1和Lm m=1;第二是对称性,即有Lm k=Lm m-k;第三是倍积性,即有

李善兰的这个运用数列所表示的统一公式,极其晦涩难懂,必须具备乘方垛方面的丰富知识,才能明白其中的道理。其实,这个统一公式的最大的缺点是不便实际应用,尽管这个统一公式还可以运用三角数表予以表示,然而还是无法展开对于高次纵横图的研究。无独有偶的是,西方《近代组合学》里的欧拉数列A(n,k),居然与我国的李善兰数列完全相同。尽管他们所运用的方法完全不同,然而他们的推导,似乎更其晦涩难懂。

我国从朱世杰的“逐差法”,到李善兰的递归数列,却经历了三个朝代五百多年时间。然而西方数学从莱布尼茨到欧拉,只有短短几十年时间。这是因为此时的中国数学,由于儒家数术的恶性发展,已经濒临中断的境地。然而此时的西方数学,才摆脱宗教的黑暗压制不久,完全处于突飞猛进的上升时期。

4、自然数等幂和的解析表达。

笔者在研究高次纵横图的多重性及其择阶性时,意外发现了自然数等幂和的解析表达式。正是由于这个发现了,才是使得对于高次纵横图的探究得以深入下去。其实,这个解析表达式,也是进一步探索高阶等差数列,以及高阶差分多项式的关键。对于自然数等幂和自身来说,也只能通过这个解析表达式去认识。

运用朱世杰的“逐差法”,对于n的k次幂nk解析分拆,其中的道理比较晦涩难懂,确实不易解释清楚,让人难以理解透彻。然而,下面对于n的k次幂nk解析分拆,则是换了一个角度的重新思考,从而使得问题变得十分直观清晰,非常简单易懂了。当然,这两种方法是完全相通的。

此式将n的k次幂nk分拆为k个正负相间的项,每项则是自然数的k-r(r=1,2,…,k)次等幂之和,分别与(1-1)k的展开项,除了第一项以外的各项反号之积。按照同样的方法,即可给出(n-1)k,(n-2)k,……,2 k,1k的表达式如下,尽管它们仍是k个正负相间的项,每项仍是一个k-r(r=1,2,…,k)次等幂之和,然而其中的自然数则是逐个减少。

上面的各式相加,即得全体自然数等幂之和的解析表达式,显然,这个解析表达式是其全体低次幂和的组合。由此即可证明高次纵横图的多重性,因此,一个k次纵横图,必定也是一个k-1,k-2,……,2,1次纵横图。由于一个k阶等差数列,加减一个低阶等差数列之后,仍是一个k阶等差数列。由于一个k阶等差数列,与任何一个正整数的积,仍是一个k阶等差数列。

所以自然数的k-r(r=1,2,…,k)次等幂,是一个k+1阶等差数列,这就是说,一个k次纵横图,必定也是一个k+1阶等差数列。为了能将一个k次n阶顺序图的组对差调整为0,这个n最小得是2k+1。然而,3次12阶纵横图却是存在的,其实这是一个唯一的例外,因为只有全体自然数的三次等幂之和,还可以运用平方和的方法去予以表示。