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传统纵横图里的奇偶阶问题

投稿时间:2013-11-03 13:56 投稿人:倪则均 【字号: 访问量:

1、顺序图与纵横图的等和划分。

由于纵横图里的等和划分是显性的,大家只要看一眼就立即可以发现,它们的各行各列以及二对角线上的数字之和全都相等。其实,这种等和划分的奇异特性,顺序图也是同样存在具有的,只是它们是隐性的,不易被人所发现而已。因此,构造一幅n阶纵横图的实质内容,只是将其n阶顺序图里的等和划分,由隐性转变为显性。为此,我们特意将下面的一幅n阶顺序图,运用一种特殊方式予以表达,即将其中的每一数都表示为(i-1)n+j的形式,其中i是这个数的所在的行数,j是这个数的所在的列数。

显然,在这个顺序图里,它们的行是公差为1的等差级数,它们的列是公差为n的等差级数,其中没有什么奥秘。然而,在这个顺序图里,它们的次对角线方向上的n个数的和,及其各个斜折线上的n个数的和,全都等于常数n(n2+1)/2。主对角线方向上的n个数的和,及其各个斜折线上的n个数的和,也全都等于常数n(n2+1)/2。

对于上述n阶顺序图来说,如果将第一行或第一列移至末尾,或是将末尾的行或列移到最前面,也就是仍然保持它们原先的循环排序,那么它们的等和划分是不会发生变化的。只有当任意两行或列相互交换位置时,才会产生一个新的划分。显然,一个三阶顺序图,不管如何的交换位置,它们始终只能有唯一的一种等和划分。

如果上述n阶顺序图的阶数n为奇数,那么它们的中心行和中心列的n个数的和,必定也等于常数n(n2+1)/2。然而,若是上述n阶顺序图的阶数n为偶数,那么它们的行或列,只要对称的相互交换前边或上面的n/2个数,即可使得它们的各行或各列的n个数的和,也全都等于常数n(n2+1)/2,这是只有偶数阶纵横图,存在完美型纵横图的原因所在。

2、奇数阶纵横图的构建原理。

对于上述n阶顺序图来说,如果阶数n为奇数,若是从主次对角线方向,各任取一组数,那么这二组数之间,只能出现一个相同的数。于是即可运用一个方向的n组数作为行,另一个方向的n组数作为列,即可得到一幅欧拉型幻方。由于奇数n阶顺序图里,共有2n+2组,n个数之和为n(n2+1)/2的数组,因此总能将这个欧拉型幻方,调整为n阶纵横图的。此法不妨称之为斜向取数法,这是构造奇数阶纵横图最基本的一种方法,这个方法与西方的连续摆数法和阶梯法,其原理都是一样的。

下面通过构造一幅五阶纵横图予以具体说明,如果以主对角方向上的五组数作为行,次对角方向上的五组数作为列,即可得到一幅五阶纵横图。具体做法是先将第一行数:1,7,13,19,25作为基准写出,随后各行根据第一行各个数所在的列,调整各个数的位置。例如第二行里的2,由于与19同为一列,因此应该写在19的下面,于是得到:

然而,当阶数n为偶数时,此时如果从主次对角线折线方向,各任取一组数,那么这二组数之间,必定会出现二个相同的数。并且在这2n个数组里,有些数组全部都是和为n2+1的数对,使得我们无法运用一个方向的n组数作为行,另一个方向的n组数作为列,立即得到这幅偶数阶纵横图。

一个偶数阶顺序图的斜向取数,为什么会出现这些奇异现象,其中的原因虽然十分简单,但是却是不易解释清楚,因为二个方向的n组数之间,它们的关系比较复杂。我们不妨先以一个六阶顺序图为例予以具体说明:

然后再作详细解释,这样或许容易理解一些。对于六阶顺序图 来说,其二个方向的六组数之间,具有二个相同的数的关系如下。

根据此表极易解释清楚,为什么当阶数n为偶数时,从主次对角线方向各任取一组数,那么这二组数之间,必定会出现二个相同的数。这是因为组成一个折线数组的二个块,它们所含数字的数量必定奇偶相同,从而使得从另一个方向斜向取数时,必定会取得其中的二个数。显然,对于一个偶数阶顺序图来说,其阶数越高,具有二个相同数的数组对就越多,不难证明其数量计算公式为:n(n+2)/4。

对于一个四阶顺序图来说,由于其中只有六个数组对,具有二个相同的数,因此可以运用等和交换的方法,将它们调整为只有一个相同的数。对于上述六阶顺序图来说,尽管从理论上讲,应该也可以运用等和交换的方法,将它们调整为只有一个相同的数,然而。实际操作却是极其困难。西方的幻方迷们,推出了构造双偶数阶幻方的对称法和对角线法,以及构造单偶数阶幻方的斯特雷奇法等等方法。其实,根据一个偶数阶顺序图,同样极易构造一幅同阶纵横图,而且这个方法还不用将偶数,分为双偶数与单偶数分别予以处理。

3、偶数阶纵横图的构建原理。

对于一个n阶顺序图来说,如果n是一个偶数,那么在这个n阶顺序图里,共有n2/2个和为n2+1的数组对,其中最大的组对差为n2-1,最小的组对差为1。由于全体的组对差是一个公差为2的等差级数,因此全体组对差的总和为n4/4。笔者在“规则纵横图的构建原理介绍”一文里,对于如何将组对差的总和调整为0的“调差法”,已经作过介绍,所以不再作重复说明。如果n2/2=ab,并且a>b,那么下面的对差矩阵,具有许多类似于顺序图的特性。首先是这个对差矩阵的斜向取数结果,所得到的b组数,每组a个数的和同样必定相等,即为n4/4。其次是这个对差矩阵的行与列,同样可以移位交换,从而引发出诸多的变化。

由于将n2/2表示为两个数之积,具有多种不同的形式,因此类似于上面的数表可以写出许多。尽管各种不同的表达形式,都各有各的用处,但是其中只有一种表达形式,不仅最为简洁明了,而且最为快捷,能迅速给出所需结果。当n=2rk(k为奇数)时,则有n2/2=22r-1k2,此时应该将n2/2表示为2rk和2r-1k两个数之积。由于对这样的对差矩阵斜向取数,即可得到2r-1k组,每组2rk 个对差的和都为n4/4b=23r-1k3

对差矩阵的如此划分,实际上是将一个n阶顺序图,划分成等和的n/2个块,每块为n个和为n2+1的数对。只要将每个块的总对差都调整为0,即得n个行,每行的和必定都为常数n(n2+1)/2。只要将各个和为n2+1的数对上下对齐,那么每列都是n/2对和为n2+1的数对,因此每列的和必定也为幻方常数n(n2+1)/2。

这样所得到的n阶幻方一般来说,是一个欧拉型幻方。只要将各个块里,和为n2+1的数对适当交换位置,就可以得到一幅n阶纵横图。当然,首先要将所得欧拉型幻方,其两对角线上的和调整为幻方常数,然后以此作为数对换位的依据。特别必须指出的是,当n=2k(k为奇数)时,其中有些块的总对差,可能无法调整为0,此时只要将这些块里的对差,通过几次等和交换,问题应该不难解决。