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规则纵横图的构建原理介绍

投稿时间:2013-10-20 12:55 投稿人:倪则均 【字号: 访问量:

1、双重调整与两步划分。

若要将上面n阶顺序图的外框,转变为n阶纵横图的外框,首先必须使其首行,首列,末行,末列n个数的和为n(n2+1)/2,同时要使其各行各列以及二条对角线上的二个数的和为n2+1。那么,我们又该如何予以具体操作实施呢?对于此类问题,一般来说应该运用反推法,去寻找解决问题的办法。

如果上面那幅n阶顺序图的外框,已经转变成n阶纵横图的外框。那么,这个n阶纵横图外框首行的n个数与首列的n个数,减去末行的n个数与末列的n个数,其差必定为0。由于这样的相减只有对角线上的二个和为n2+1的数组,都重复运用了2次,因此,这样的相减,完全可以转换为去除主对角线上的一个和为n2+1的数组,增加次对角线上的一个和为n2+1的数组的相减。

这样的相减实际上意味着,在上面n阶顺序图外框的2(n-1)组和为n2+1的组对数里,去掉一个和为n2+1的组对数,加上一个和为n2+1的组对数,然后设法将它们的组对差之总和调整为0。当然,只要去除和增加的二个和为n2+1的组对数,正是四个对角数,那么,就必定可以将它们的组对差之总和调整为0。由于只是对组对差作出了调整,所以这是单重调整的一次划分。

由于单重调整的一次划分还不能具体确定各条框边上的数,因此还必须再作一个单重调整的一次划分。这个单重调整的一次划分,应该改为以次对角线为分界线,同样将它们的组对差之总和调整为0。通过这样的单重调整的二次划分,已经将上面n阶顺序图的外框,转变成n阶纵横图的外框了,但是,这样的n阶纵横图的外框,是不能顺利扩张为n+2r阶规则纵横图的一个可变层的。若要使其可以顺利扩张为n+2r阶规则纵横图的一个可变层,还必须将它们的行序数之差,也要一并调整为0,这就是双重调整的实质内容。

下面我们通过将一个5阶顺序图的外框,转变为一个5阶纵横图的外框为例,予以具体说明这种双重调整两步划分方法。首先将和为26的8对数,按照大小数分为二组,写出这些数对之间的对差及行差。

由于我们已经知道,其中符合要求的四角数是1、5、21、25。因此,不妨以25和1为主对角数,21和5为次对角数,同时写出它们的双重两步划分。对于下面的两步划分来说,显然二次都是首行减去末行,它们的组对数没有颠倒。然而,首列与末列的相减二次却是颠倒的,因此完全可以根据组对数的是否颠倒,确定其四条边的中间数,得到下面五阶规则纵横图的可变外框:

        

2、四个对角数的确立问题

显而易见,四角数是构建一个可变外框的关键。其实,所有的四角数只有四种不同的类型,它们分别适用于当n是4k+1、4k-1、4k+2、4k形数的四种情况。我们应该不难证明,所有的四角数全都具有以下重要规律:如果有二个组对数是一个n阶纵横图可变外框的四角数,那么,对于任何一个n+4r阶顺序图来说,这四个位置上的数,必定也是其n+4r阶阶纵横图可变外框的四角数。下表具体给出五、六、七、八阶纵横图可变外框的四角数,以及它们所对应的位置:

我们只要证明当n为4k+1形数时,其n阶顺序图外框中的n2和1,n(n-1)+1和n,这就是其n阶纵横图外框中的四角数。这是因为当n=4k+1时,此时n阶顺序图的外框,共有16k个数,构成8k个组对数,其中前4k个组对数为横向组对,后4k个组对数为纵向组对。如果去掉主对角数n2和1,增加次对角数n(n-1)+1和n,则其数对排序为:

显然在重复计算中间一对数的情况下,前后两组仍是各有4k对数,前边4k对数的差是公差为2的等差级数,后边4k对数的差是公差为2和2n的混合级数。如果再将前边的横向组一分为二,前半组的偶数对交换大小数的位置,后半组的奇数对交换大小数的位置,那么横向组的对差和行差都为0。后边的纵向组按照同样的方法,同样可以将它们的对差和行差调整为0,于是完成第一步划分。

第二步划分则是增加主对角数n2和1,去掉次对角数n(n-1)+1和n。这对于前边的横向组来说,就意味着增加一个首对数,去掉一个末尾对,仍是4k对数。于是就可以运用上述方法,首先将它们的对差和行差调整为0。至于后边纵向组里的4k对数,在排序上还得稍作一点变动。由于它们的第一对数已经去掉,那么干脆将第二对数也移到后面去,增加的主对角数n2和1,则放在最后。于是变动后的纵向组排列为:

这实际上是将纵向组再分为二个小组,后边的四对数为一个小组,前边的4(k-1)对数为一个小组。前边的4(k-1)对数,可以运用上面方法,将它们的对差和行差调整为0。后边的四对数,只要将前三对数大小交换位置,它们的对差和行差同样为0,于是完成第二步划分。对于其它三种情况,不难运用同样的方法一一予以证明。

3、内核的扩张转换。

如果要构造一张任意大的n阶规则纵横图,那么我们首先要将现有的三阶纵横图,或四阶纵横图转变成其核心。然后将相应的可变外框转变为它的各个层,最后只要一层一层地包围上去就是了。上述两种转变,其实质内容完全一样,都是将原来的数扩张变成一个新的数。上述两种转变,可以运用下面的扩张公式予以实施,非常简洁实用,这个公式我们最初是从n阶顺序图中心,取出一个r阶方阵,减去r阶顺序图得到,整个推导演算过程极其繁琐。因此,下面先列出这个公式,随后换一种方法证明其正确性:

X=x+(n2-r2)/2+s(n-r)。

其中X是数字x的扩张结果,s是数字x在r阶顺序图里的所在行次,减去中心轴的行次(r+1)/2的差。因此,当x在中心轴的上方时s为负,在中心轴的下方时s为正,正好在中心轴上时s为0。这个公式是一个三项式,第一项x为原来的数,也就是需要扩张处理的数。第二项(n2-r2)/2是针对x,正好是在中心轴上时的基本扩张项。第三项s(n-r),则是当x在其它各行时的修正项。

对于这个公式来说,当r=1时,由于在一阶顺序图里,只有一行一个数1,因此根据此公式即可将此1扩张为:X=1+(n2-12)/2=(n2+1)/2。显然这是正确的,因为当n为奇数时,n阶顺序图里的中心数,确实是(n2+1)/2。当r=2时,在二阶顺序图里有二行四个数,由于中心轴为3/2,因此它们扩张为:

显然这也是正确的,因为当n为偶数时,n阶顺序图里的中心正是这四个数。

对于r阶顺序图来说,我们只要证明其首列数,通过上述公式扩张后,正是n阶顺序图里,r阶中心方阵的首列数就可以了。因为其它的各列,都可以运用同样的方法予以证明。

行次

首列x

s

首列X

1

1

(1-r)/2

(n2-r2)/2+n(1-r)/2+r(r-1)/2+1

2

r+1

(3-r)/2

(n2-r2)/2+n(3-r)/2+r(r-1)/2+1

3

2r+1

(5-r)/2

(n2-r2)/2+n(5-r)/2+r(r-1)/2+1

...

...

...

...

r

r(r-1)+1

(r-1)/2

(n2-r2)/2+n(r-1)/2+r(r-1)/2+1

显然此表里的最后一列,正是n阶顺序图里,r阶中心方阵的首列数。当n-r=2时此列数为:n+2,2n+2,3n+2,…,n(n-2)+2,至此,我们换了一种方法,同样证明了上述公式是正确的。上述公式对于可变外框扩张的应用,情况也是大同小异,由于篇幅的限制,就不再具体给出了。