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“P对NP”难题研究的形转换新思路

投稿时间:2011-08-30 23:51 投稿人:杨正瓴 【字号: 访问量:

“P对NP”(P versus NP, P vs NP)问题是当前最重要的数学或理论计算机科学难题之一。其现有的研究与证明方法主要有三大类:对角化diagonalization、电路复杂性circuit complexity、证明复杂性proof complexity。但国际学术界普遍的看法是这些方法都不能得到彻底的结果。一般认为,“不同数学领域的意外结合”、“P或NP新特征的使用”、“新的电路复杂性下界证明方法”以及“对角化的新变形”等是可能获得新结果的途径。

下文缩写:NDTM,non-deterministic Turing machine,非确定型图灵机;DTM,deterministic Turing machine,确定型图灵机;NPC,NP-complete,NP-完全;NPI,NP-Intermediate,不属于P类且不属于NP-完全问题,早期指“人们不知道是属于P类还是属于NP-完全类,还有待于证明其归属”;CH,continuum hypothesis,连续统假设;TSP,traveling salesman problem,旅行推销员问题。

根据1974年Chaitin定理(Gödel第一不完全性定理的信息论形式的具体化),以及连续统假设CH对Zermelo-Fraenkel集合论公理系统独立性等大量的数学证明实践,本文认为:

(1)“P对NP”问题长期没有公认答案,首先源自该问题的描述出现了某种不确定性。“P对NP”类似希尔伯特第四问题(直线作为两点间最短距离问题,The problem of the straight line as the shortest distance between two points),描述得太隐晦、太宽泛。

(2)“P对NP”实际上是三个更具体问题的合成:①在NDTM中P等于NP;②在DTM中P不等于NP;③不指定具体的理论计算机模型,则具有独立性。这是对1975年Baker、Gill和Solovay观点“存在不同的计算模型A、B,使得PA=NPA、PB¹NPB分别成立”的进一步细化。

在上述问题描述的明确化后,根据“不同数学领域的意外结合”和“P或NP新特征的使用”来研究“P对NP”,可以得到对该难题的新看法:

(1)由NP定义可知“对于NDTM,PA=NPA”,因此“对于DTM,PB¹NPB”才是研究的重点。这十分类似希尔伯特第四问题,“P对NP”问题描述的不确定性,误导了人们的研究。造成了“P对NP”研究额外的困难性。缺少对DTM和NDTM结构差异的充分使用,是导致“对于DTM,P¹NP”长期缺乏明确结论的原因之一。

(2)目前的以及历史上出现的各种主流研究方法,都集中在P或NP问题类的数量性质研究上。从问题类角度看,由于NPC类、P类只是在DTM上计算“速度”的差异,只是一种“量”的区分,而不像“可计算性”是一种质的区分,这是引起“P对NP”困难性的原因之二。因为证明所采用的“逻辑”,通常是成立、不成立两种明确状态(质)划分的。

(3)“形转化”新思路是将“P对NP”从现在主流的在“数量关系”角度的研究,转化成以“空间形式”角度为主的研究。就是将多项式、指数时间等数量特性,转化为平面图、非平面图等空间、形状特性。

(4)如果能证明对于DTM,P不等于NP,则可以进一步研究无穷版本下的NPI与Cantor原本意义下连续统假设的关系。预计可以得出不接受连续统假设的结论。

下面介绍以此得到的2个具体结果:

(1)尽管在平面图上也可以出现NPC,但大多数NPC出现在非平面图上。不难发现,复杂的TSP可以包含Kuratowski图K5或K3,3,不是平面图。同时一个满二叉树(full binary tree)的高度为可数无穷基数时,会包含K3,3,不是平面图。简言之,非平面图是出现NPC的充分条件。

(2)最小的NDTM就是DTM;一个大的NDTM具有满二叉树(满多叉树)结构,其经过t步计算后的总状态数为2t个。换言之,一个NDTM可以等效为指数界的DTM在同时工作。在这种意义下,NDTM可以看成DTM的幂集。接受Zermelo–Fraenkel集合论公理系统中的“幂集公理Axiom of power set”,即可证明“对于DTM,P¹NP”。

(3)在无穷化版本下,即t取为可数无穷基数a,则DTM只有一个新状态、以及总共经历a个状态;相反,NDTM可以产生2a=c个新状态、以及总共经历a´c=c个状态。即在无穷意义下,“对于DTM,P¹NP”。并且,NPI的存在性,就是Cantor原本意义下的“连续统假设CH”:可数无穷基数a和连续统基数c之间是否存在一个其它的无穷基数。

参考文献:

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       http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/.

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